Constante de Copeland-Erdős

La constante de Copeland-Erdős es un número real construido como una concatenación de "0" ("cero enteros...") con una secuencia concatenada de números primos crecientes en notación decimal [1] :

0.235711131719232931374143…

La constante es irracional ; este hecho se puede probar utilizando el teorema de Dirichlet sobre los números primos en progresión aritmética o el postulado de Bertrand [2] o el teorema de Ramare (que establece que cualquier número entero par es la suma de como máximo seis números primos). Este hecho también se sigue del hecho de que esta constante es un número normal ; la normalidad de la constante en notación decimal fue probada en 1949 por Arthur Copeland y Pal Erdős .

Cualquier constante formada por la concatenación de "0", con todos los números primos en una progresión aritmética , donde es un número primo relativo con el número y el número 10, será irracional. Por ejemplo, estos son números primos que toman la forma o . Según el teorema de Dirichlet, una progresión aritmética contiene primos para cualquier número , y estos primos también están en , por lo que entre estos primos concatenados habrá cualquier número deseado de ceros consecutivos. $dn+a$ $a$ $d$ ${\ estilo de visualización 4n+1}$ ${\ estilo de visualización 8n+1}$ $dn\cdot 10^{m}+a$ $metro$ $cd+a$

La constante de Copeland-Erdős se puede expresar como:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}p_{n}10^{-\left(n+\sum_{k=1}^{n}\lfloor \log_{10} {p_{k}}\rpiso\derecha)}

donde está el número primo th . $p_n$ $norte$

La fracción continua de un número es [0; 4, 4, 8, 16, 18, 5, 1, …] [3] .

Constantes similares

Para cualquier sistema de numeración posicional con número base: $b$

\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}b^{-p_{n))

que se puede escribir en este sistema numérico como 0.0110101000101000101…, donde el -ésimo dígito es 1, si es un número primo, es irracional [4] . $norte$ $norte$

La constante de Champernowne es la concatenación de todos los números enteros positivos, no solo los números primos.

Notas

↑ Secuencia OEIS A033308 _
↑ Hardy, Wright, 1938 , pág. 113.
↑ A030168
↑ Hardy, Wright, 1938 , pág. 112.

Enlaces

Weisstein, Eric W. Copeland-Erdos Constant (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
GH Hardy , EM Wright. Introducción a la teoría de los números. — 5ª ed. . - Oxford University Press , 1938. - ISBN 0-19-853171-0 .