Lema de Nakayama

El lema de Nakayama es un lema técnico importante en álgebra conmutativa y geometría algebraica , una consecuencia de la regla de Cramer . Nombrado en honor a Tadashi Nakayama .

Formulaciones

Tiene muchas formulaciones equivalentes. Aqui esta uno de ellos:

Sea R un anillo conmutativo con identidad 1, I un ideal en R y M un módulo finitamente generado sobre R. Si IM = M , entonces existe un ∈ I tal que para todo m ∈ M am = m .

Prueba del lema. Sean generadores del módulo M . Como M = IM , cada uno de ellos se puede representar como $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\puntos +a_{{in}}m_{n}

, donde se encuentran elementos del yo ideal . Es decir, (donde está el símbolo de Kronecker ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

De la fórmula de Cramer para este sistema se deduce que para cualquier j

\operatorname {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Como representamos en la forma 1 − a , a de I , el lema está probado. $\nombre del operador {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

El siguiente corolario del enunciado probado también se conoce como Lema de Nakayama:

Corolario 1: Si, bajo las condiciones del lema, el ideal I tiene la propiedad de que para cada uno de sus elementos a , el elemento 1 − a es invertible (por ejemplo, este es el caso si I está contenido en el radical de Jacobson ) , debe ser M = 0 .

prueba _ Existe un elemento a del ideal I tal que aM = M , por tanto (1 − a)M = 0, multiplicando por la izquierda por el elemento inverso a 1 − a , obtenemos que M = 0.

Aplicación a módulos sobre anillos locales

Sea R un anillo local , sea un ideal maximal en R , M sea un módulo R generado finitamente y sea un homomorfismo de factorización. El lema de Nakayama proporciona un medio conveniente para pasar de un módulo M sobre un anillo local R a un módulo cociente , que es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo . La siguiente declaración también se considera una forma del lema de Nakayama, tal como se aplica a este caso: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak{m}}$

Los elementos generan un módulo M si y sólo si sus imágenes generan un módulo cociente . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\en M$ ${\ estilo de visualización \ phi (m_{1}), \ phi (m_{2}),..., \ phi (m_{n})}$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Prueba. Sea S un submódulo en M generado por elementos , Q = M/S sea un módulo factorial, y sea un homomorfismo de factorización. Como generan un módulo de cociente , esto significa que por cada existe , tal que . entonces _ Como es sobreyectiva, esto significa que . Por el lema de Nakayama (más precisamente, según el Corolario 1) Q=0 , es decir, S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\a Q$ ${\ estilo de visualización \ phi (m_{1}), \ phi (m_{2}),..., \ phi (m_{n})}$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\en M$ $S \ en S$ $ms\en {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}Q$ $\Pi$ $Q={\mathfrak{m}}Q$

Hay otra versión del lema de Nakayama para módulos sobre anillos locales:

Sea un homomorfismo de módulos R generados finitamente . Induce un homomorfismo del módulo del cociente . Estos homomorfismos son sobreyectivos o no sobreyectivos al mismo tiempo. $\phi :\,M\to N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\to N/{\mathfrak {m}}N$

Basado en esta forma del lema de Nakayama, se deriva el siguiente teorema importante:

Cada módulo proyectivo ( generado finitamente ) sobre un anillo local es gratuito.

Literatura

M. Atiyah, I. MacDonald. Introducción al álgebra conmutativa. — M .: Mir , 1972. — 160 p.

Véase también

Tadashi Nakayama