Aproximación de Fokker-Planck

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La aproximación de Fokker-Planck es una descripción de la cinética física de las partículas en un gas en el caso de que la distribución de la velocidad de las partículas sea casi isotrópica . Se utiliza principalmente para describir electrones en gases cuando se exponen a un campo eléctrico .

La aproximación de Fokker-Planck

La ecuación de Fokker-Planck se puede derivar de la ecuación cinética de Boltzmann . Se debe suponer que el problema tiene dirección preferente y, en consecuencia, simetría axial . Las coordenadas esféricas se introducen en el espacio de velocidades | V |, θ , φ . Debido a la simetría axial, la función de distribución de coordenadas y velocidades no depende de φ y tiene la forma: f ( r , | V |, θ , t ). Para un valor dado de r , | v | y la función t f depende solo del ángulo θ y se puede expandir en serie en polinomios de Legendre :

f\left({\vec {r)),|{\vec {V}}|,\theta ,t\right)=\sum _{i=0}^{\infty }{P_{i }\left(\cos \theta \right)f_{i}\left({\vec {r)),|{\vec {V}}|,t\right)}.

Además, se supone que la distribución en las direcciones de las velocidades es casi isotrópica. Esto nos permite descartar todos los términos de la serie, excepto los dos primeros. Así, la solución (la función de distribución de coordenadas y velocidades) se busca de la forma:

f\left({\vec {r)),|{\vec {V}}|,\theta ,t\right)=f_{0}\left({\vec {r)),|{ \vec {V}}|,t\right)+f_{1}\left({\vec {r}},|{\vec {V}}|,t\right)\cos \theta .

Las incógnitas aquí son las funciones escalares f 0 ( r , | V |, t ) y f 1 ( r , | V |, t ). En un caso más general, la dirección seleccionada puede conocerse de antemano. Si hay motivos para afirmar que la distribución de velocidades de las partículas es casi isotrópica, la solución se busca en la forma:

f\left({\vec {r)),{\vec {V)),t\right)=f_{0}\left({\vec {r)),|{\vec {V} }|,t\derecha)+{\vec {f}}_{1}\left({\vec {r}},|{\vec {V}}|,t\derecha)\cdot {\vec { n}}_{\vec{V}}.

Aquí n V es un vector unitario en el espacio de velocidad tridimensional, y la función desconocida f 1 ( r , | V |, t ) ya no es un escalar, sino un vector.

En este caso, la corrección anisotrópica debería ser mucho menor que el primer término de la serie:

f_{0}\left({\vec {r)),|{\vec {V}}|,t\right)\gg \left|{\vec {f}}_{1}\left ({\vec {r)),|{\vec {V}}|,t\derecha)\derecha|.

Así, pasamos de un problema en el espacio de 7 dimensiones ( r x , r y , r z , V x , V y , V z , t ) a un problema en el espacio de 5 dimensiones ( r x , r y , r z , | V |, t ).

Es necesario exigir que el tiempo característico del cambio en el campo eléctrico sea mucho menor que el tiempo para el establecimiento de la función de distribución de electrones, es decir, el tiempo característico de los microprocesos inelásticos .

También es necesario que las partículas en cuestión sean mucho más ligeras que las partículas que constituyen principalmente el gas. Esto es necesario para una explicación simplificada de las colisiones elásticas , que se analizará más adelante. Debido a este requisito, la ecuación se aplica principalmente a los electrones en gases atómicos o moleculares .

Además de la reducción de la dimensión del espacio discutida anteriormente, la ecuación de Fokker-Planck es más conveniente de calcular que la ecuación de Boltzmann porque es una ecuación diferencial parcial lineal , mientras que la ecuación de Boltzmann es una ecuación integro-diferencial .

Formulación de la ecuación de Fokker-Planck

Sustituyendo la expresión de la función de distribución en la ecuación de Boltzmann , se pueden obtener un par de ecuaciones:

\left\{{\begin{matriz}V{\frac {\parcial f_{0}}{\parcial t}}-\nabla \cdot \left[\chi \left(\nabla f_{0} +\nabla \varphi {\frac {\parcial f_{0}}{\parcial E}}\right)\right]-{\frac {\parcial }{\parcial E}}\left[\chi \nabla \ varphi \cdot \left(\nabla f_{0}+\nabla \varphi {\frac {\parcial f_{0}}{\parcial E}}\right)\right]=VS\\{\vec {f} }_{1}=-{\frac {V}{\nu }}\nabla f_{0}-\left(\nabla \varphi \right){\frac {V}{\nu }}{\frac { \parcial f_{0}}{\parcial E}}\end{matriz}}\right.

Las ecuaciones tienen en cuenta la presencia del potencial electrostático φ . Como puede ver, las ecuaciones están formuladas de tal manera que solo la ecuación para f 0 necesita ser resuelta y la función f 1 se restaura a partir de ella.

En el sistema de ecuaciones escrito anteriormente, se entiende que las funciones f 0 y f 1 no dependen del módulo de velocidad | V |, sino de la energía cinética dividida por la carga eléctrica de la partícula E=m | v | 2/2 | q |. Es claro que tal cambio de variable es una cuestión de conveniencia. En el caso de que la carga de la partícula sea igual a la carga del electrón, la variable E es la energía cinética de la partícula, expresada en electronvoltios , m es la masa de la partícula, χ es el coeficiente, que se puede encontrar por la siguiente fórmula:

\chi ={\frac {V^{3}}{3\nu )),

donde ν es la frecuencia de las colisiones elásticas, S es la "función fuente" que describe las colisiones inelásticas, estas cantidades se describen en la siguiente sección.

Colisiones elásticas e inelásticas

Al formular la ecuación de Fokker-Planck, las colisiones que experimentan las partículas se dividen en elásticas e inelásticas . Dado que las partículas descritas por la ecuación de Fokker-Planck son mucho más ligeras que las moléculas de gas con las que se producen principalmente las colisiones, las colisiones elásticas prácticamente no tienen efecto sobre la energía de las partículas ligeras, pero "difuminan" la distribución en las direcciones, lo que contribuye al establecimiento de isotropía. La frecuencia de colisión elástica ν es una función de las coordenadas y la energía cinética y se puede encontrar usando la siguiente fórmula:

\nu \left(E\right)={\sqrt {\frac {2|q|}{m}}}n{\sqrt {E}}\sigma_{el}\left(E\right ).

Aquí n es la concentración de partículas pesadas con las que se producen colisiones elásticas, σ el ( E ) es la dependencia de la sección transversal de colisión elástica de la energía cinética de una partícula ligera.

Las colisiones inelásticas, que incluyen ionización , recombinación , colisiones con excitación de átomos o moléculas, se describen mediante la función fuente S , que es la suma de las funciones fuente para todos los tipos de colisiones inelásticas que se tienen en cuenta en el problema Si .

S_{i}\left(E\right)={\sqrt {\frac {2|q|\left(E+\varepsilon _{i}\right)}{m))}\nu _{i }\left(E+\varepsilon _{i}\right)f\left({\vec {r)),E+\varepsilon _{i}\right)-{\sqrt {\frac {2E}{m)) }\nu _{i}\left(E\right)f\left({\vec {r)),E\right).

La fórmula describe la situación cuando, como resultado de una colisión inelástica del i-ésimo tipo, una partícula se mueve a lo largo de la coordenada de energía E — desaparece del punto E + ε i (segundo término) y aparece en el punto E (primer término) , es decir, simplemente pierde un cuanto de energía de ε i . La recombinación puede describirse mediante una fórmula similar sin el primer término, ya que como resultado de ella la partícula cargada deja de existir. La ionización se puede describir mediante una fórmula similar con un término adicional del primer tipo, que describe la aparición de una nueva partícula cargada.

La frecuencia de colisiones del i-ésimo tipo ν i se puede encontrar mediante la fórmula:

\nu _{i}\left(E\right)={\sqrt {\frac {2|q|}{m}}}n{\sqrt {E}}\sigma_{i}\left (E\derecha).

Aquí n es la concentración de partículas pesadas con las que se producen colisiones inelásticas, σ i ( E ) es la dependencia de la sección transversal de una colisión inelástica del tipo i-ésima de la energía cinética de una partícula ligera.

El significado físico de las funciones deseadas

La función f 0 ( r , E , t ), a veces llamada la parte simétrica de la distribución, describe la distribución de energía de los electrones, su espectro en un punto dado en un momento dado. Esta función describe la distribución isotrópica de partículas a lo largo de las direcciones de movimiento. Mediante la función f 0 ( r , E , t ) se puede expresar la concentración de partículas n ( r , t ):

n\left({\vec {r)),t\right)=\int _{0}^{\infty}f_{0}\left({\vec {r)),E,t\ derecha)\,dE.

La función f 1 ( r , E , t ), o la parte asimétrica de la distribución, es una pequeña corrección de la parte simétrica y caracteriza la dirección del movimiento promedio de las partículas en un punto dado. A través de la función f 1 ( r , E , t ) se puede expresar el flujo de partículas j ( r , t ):

{\vec {j}}\left({\vec {r}},t\right)={\frac {8\pi {\sqrt {|q|}}}{3{\sqrt {m }}}}\int _{0}^{\infty }{\vec {f}}_{1}\left({\vec {r}},E,t\right){\sqrt {E}} \,Delaware.

Aquí m es la masa de una partícula.

Literatura

Kotelnikov IA Conferencias sobre física del plasma. Volumen 1: Fundamentos de Física del Plasma. - 3ra ed. - San Petersburgo. : Lan , 2021. - 400 p. - ISBN 978-5-8114-6958-1 .
Raizer Yu. P. Física de descarga de gas. - 2ª ed. — M .: Nauka , 1992. — 536 p. — ISBN 5-02014615-3 .