Polinomios de Legendre

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Polinomios de Legendre
información general
Fórmula	$P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1 )^{n}$
producto escalar	${\displaystyle (f,\;g)=\int \limits _{-1}^{1}{f(x)g(x)\,dx))$
Dominio	${\ estilo de visualización [-1, \; 1]}$
características adicionales
Ecuación diferencial	$(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0$
Norma	${\displaystyle \\|P_{n}(x)\\|={\sqrt {\frac {2}{2n+1))))$
Lleva el nombre de	Legendre, Adrien Marie

El polinomio de Legendre es el polinomio que se desvía menos de cero en el sentido del cuadrado medio . Forma un sistema ortogonal de polinomios sobre un segmento en el espacio . Los polinomios de Legendre se pueden obtener a partir de polinomios mediante la ortogonalización de Gram-Schmidt . $[-1,\;1]$ $L^{2}$ $\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3},\;\ldots\}$

Llamado así por el matemático francés Adrien Marie Legendre .

Definición

Polinomios de Legendre y funciones de Legendre asociadas de primer y segundo tipo

Considere una ecuación diferencial de la forma

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+n(n+1)u=0,

(una)

donde es una variable compleja . Las soluciones de esta ecuación para números enteros tienen la forma de polinomios , llamados polinomios de Legendre . El polinomio de grado de Legendre se puede representar mediante la fórmula de Rodrigues en la forma [1] $z$ $norte$ $norte$

P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2 }-1)^{n}.

A menudo, en cambio , escriba el ángulo polar del coseno : $z$

P_{n}(\cos \theta )={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{d(\cos \theta )^{ n}}}(\cos ^{2}\theta-1)^{n}.

La ecuación ( 1 ) se puede obtener de un caso especial de la ecuación hipergeométrica , llamada ecuación de Legendre

(1-z^{2}){\frac {{\mathrm d}^{2}u}{{\mathrm d}z^{2))}-2z{\frac {{\mathrm d}u} {{\mathrm d}z}}+\left[\nu (\nu +1)-{\frac {\mu ^{2}}{1-z^{2}}}\right]u=0,

(2)

donde , son constantes complejas arbitrarias. De interés son sus soluciones, que son univaluadas y regulares para (en particular, para real ) o cuando la parte real del número es mayor que uno. Sus soluciones se denominan funciones asociadas de Legendre o funciones esféricas (armónicas) . La sustitución de la forma en ( 2 ) da la ecuación de Gauss , cuya solución en la región toma la forma $\mu$ $\nu$ $|z|<1$ $z$ $z$ $w=(z^{2}-1)^{{\mu /2}}$ $|1-z|<2$

w=P_{\nu }^{\mu }(z)={\frac {1}{\Gamma (1-\mu )))\left({\frac {z+1}{z- 1}}\right)^{\mu /2}F\left(-\nu ,\;\nu +1;\;1-\mu ;\;{\frac {1}{2}}-{\ fracción {z}{2}}\right),

donde es la función hipergeométrica . La sustitución en ( 2 ) conduce a una solución de la forma $F$ $w=z^{2}$

w=Q_{\nu }^{\mu }(z)=e^{\mu i\pi }2^{-\nu -1}{\sqrt {\pi }}{\frac {\ Gamma (\nu +\mu +1)}{\Gamma (\nu +3/2)))z^{-\nu -\mu -1}(z^{2}-1)^{\mu / 2}F\left({\frac {\nu }{2))+{\frac {\mu }{2))+1,\;{\frac {\nu }{2))+{\frac { \mu }{2))+{\frac {1}{2));\;\nu +{\frac {3}{2));\;z^{-2}\right),

definido en . Las funciones y se denominan funciones de Legendre de primera y segunda especie . [2] $|z|>1$ $P_{\nu}^{\mu}(z)$ $Q_{\nu}^{\mu}(z)$

Las siguientes relaciones son válidas [3]

P_{\nu}^{\mu}(z)=P_{{-\nu -1}}^{\mu}(z)

Q_{\nu }^{\mu }(z)\sin \pi (\nu +\mu )-Q_{{-\nu -1}}^{\mu }(z)\sin \pi (\nu -\mu )=\pi e^{{i\mu \pi }}\cos(\nu \pi )P_{\nu }^{\mu }(z).

Expresión en términos de sumas

Los polinomios de Legendre también se definen mediante la siguiente fórmula:

P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n))}\sum_{k=0}^{E(n/2)}(-1)^{k} {\binom {n}{k}}{\binom {2n-2k}{n}}x^{n-2k}.

Fórmula recurrente

También se pueden calcular mediante la fórmula recursiva (para ) [4] : $n\geqslant 1$

P_{n+1}(x)={\frac {2n+1}{n+1}}xP_{n}(x)-{\frac {n}{n+1}}P_{n -1}(x),

(3)

y las dos primeras funciones tienen la forma

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x.

La derivada del polinomio de Legendre

Calculado por la fórmula [5]

P'_{n}(x)={\frac {n}{1-x^{2}}}[P_{n-1}(x)-xP_{n}(x)].

(cuatro)

Raíces del polinomio de Legendre

Calculado iterativamente por el método de Newton [5] :

x_{i}^{(k+1)}=x_{i}^{(k)}-{\frac {P_{n}(x_{i}^{(k)})}{P '_{n}(x_{i}^{(k)})}},

y la aproximación inicial para la raíz -ésima ( ) se toma según la fórmula [5] $i$ $i=1,\;2,\;\ldots,\;n$

x_{i}^{(0)}=\cos {\frac {\pi (4i-1)}{4n+2)).

El valor de un polinomio se puede calcular utilizando una fórmula recursiva para un valor de x específico . La derivada también se puede calcular para un valor particular de x usando la fórmula de la derivada .

Fórmulas con expansiones

Los polinomios de Legendre también están definidos por las siguientes expansiones:

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2))}=\sum _{n=0}^{\infty}P_{n}(x)t ^{n}

por

|t|<\min \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|,

(1-2tx+t^{2})^{-{\frac {1}{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }P_{n}(x){ \frac{1}{t^{n+1}}}

por

|t|>\max \left|x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}\right|.

Como consecuencia,

P_{n}(x)={\frac {(2n)!}{2^{n}(n!)^{2}}}\left[x^{n}-{\frac {n (n-1)}{2(2n-1)}}x^{n-2}+{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{2\cdot 4( 2n-1)(2n-3)}}x^{n-4}-\ldots\right].

Polinomios de Legendre asociados

Los polinomios de Legendre asociados se definen mediante la fórmula

P_{n}^{m}(x)=(1-x^{2})^{m/2}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}P_{ n}(x),

que también se puede representar como

P_{n}^{m}(\cos \theta )=\sin ^{m}\theta {\frac {d^{m}}{d(\cos \theta )^{m}}} P_{n}(\cos\theta).

Porque , la función es la misma que . $metro=0$ $P_{n}^{m}$ $P_{n}$

Normalización según la regla de Schmidt

Los polinomios de Legendre normalizados de acuerdo con la regla de Schmidt se ven así [6] :

SP_{n}^{0}(x)=P_{n}^{0}(x),

SP_{n}^{m}(x)=(-1)^{m}\left({\frac {2(nm)!}{(n+m)!}}\right)^{ 1/2}P_{n}^{m}(x).

Polinomios desplazados de Legendre

Los polinomios desplazados de Legendre se definen como , donde la función de desplazamiento (esta es una transformación afín ) se elige para mapear de forma única el intervalo de ortogonalidad de los polinomios en el intervalo en el que los polinomios desplazados ya son ortogonales : ${\tilde {P_{n}}}(x)=P_{n}(2x-1)$ $x\mapas a 2x-1$ ${\ estilo de visualización [-1, \; 1]}$ ${\ estilo de visualización [0, \; 1]}$ ${\tilde {P_{n))}(x)$

\int \nolimits _{0}^{1}{\tilde {P_{m))}(x){\tilde {P_{n))}(x)\,dx={\frac {1 {2n+1}}\delta _{mn}.

La expresión explícita para los polinomios de Legendre desplazados se da como

{\tilde {P_{n))}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k)){\binom {n+k}{k}}(-x)^{k}.

Un análogo de la fórmula de Rodrigues para los polinomios de Legendre desplazados es

{\tilde {P_{n))}(x)={\frac {1}{n!)}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[ (x^{2}-x)^{n}\derecha].

Expresiones para algunos polinomios de Legendre desplazados primero:

norte	${\tilde {P_{n))}(x)$
0	$una$
una	${\ estilo de visualización 2x-1}$
2	${\ estilo de visualización 6x^{2}-6x+1}$
3	${\ estilo de visualización 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}$
cuatro	${\ estilo de visualización 70x^{4}-140x^{3}+90x^{2}-20x+1}$

Matriz de función polinomial de Legendre

{\begin{pmatrix}0&0&-2&0&0&\vdots &0&\vdots &0\\0&2&0&-6&0&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&6&0&-12&\vdots &0&\vdots &\vdots \\0&0&0&12&0&\vdots &0& \vdots &\vdots \\0&0&0&0&20&\vdots &0&\vdots &\vdots \\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots &\ddots &\vdots &\dots &\vdots \\0&0&0&0&0&\dots &k (k+1)&\puntos &\vpuntos \\\puntos &\puntos &\puntos &\puntos &\puntos &\puntos &\puntos &\dpuntos &\vpuntos \\0&0&0&0&0&\puntos &0&\puntos &n(n +1)\\\end{matrix}}}

Esta matriz es triangular superior . Su determinante es igual a cero, y los autovalores son , donde . ${\ estilo de visualización k (k + 1)}$ ${\displaystyle k\in \{0,\;1,\;2,\;3,\;\ldots,\;n\))$

Ejemplos

Los primeros polinomios de Legendre en forma explícita:

P_{0}(x)=1,

P_{1}(x)=x,

P_{2}(x)={\frac{1}{2}}(3x^{2}-1),

P_{3}(x)={\frac{1}{2}}(5x^{3}-3x),

P_{4}(x)={\frac{1}{8}}(35x^{4}-30x^{2}+3),

P_{5}(x)={\frac {1}{8}}(63x^{5}-70x^{3}+15x),

P_{6}(x)={\frac{1}{16}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5),

P_{7}(x)={\frac{1}{16}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x),

P_{8}(x)={\frac {1}{128}}(6435x^{8}-12\,012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35 ),

P_{9}(x)={\frac {1}{128}}(12\,155x^{9}-25\,740x^{7}+18\,018x^{5}-4620x ^{3}+315x),

P_{10}(x)={\frac {1}{256}}(46\,189x^{10}-109\,395x^{8}+90\,090x^{6}-30 \,030x^{4}+3465x^{2}-63),

P_{11}(x)={\frac {1}{256}}(88\,179x^{11}-230\,945x^{9}+218\,790x^{7}-90 \,090x^{5}+15\,015x^{3}-693x),

P_{12}(x)={\frac {1}{1024}}(676\,039x^{12}-1\,939\,938x^{10}+2\,078\,505x ^{8}-1\,021\,020x^{6}+225\,225x^{4}-18\,018x^{2}+231),

P_{13}(x)={\frac {1}{1024}}(1\,300\,075x^{13}-4\,056\,234x^{11}+4\,849 \,845x^{9}-2\,771\,340x^{7}+765\,765x^{5}-90\,090x^{3}+3003x),

P_{14}(x)={\frac {1}{2048}}(5\,014\,575x^{14}-16\,900\,975x^{12}+22\,309 \,287x^{10}-14\,549\,535x^{8}+4\,849\,845x^{6}-765\,765x^{4}+45\,045x^{2}- 429),

P_{15}(x)={\frac {1}{2048}}(9\,694\,845x^{15}-35\,102\,025x^{13}+50\,702 \,925x^{11}-37\,182\,145x^{9}+14\,549\,535x^{7}-2\,909\,907x^{5}+255\,255x^{ 3}-6435x),

P_{16}(x)={\frac {1}{32768}}(300540195x^{16}-1163381400x^{14}+1825305300x^{12}-1487285800x^{10}+669278610x^{8 }-162954792x^{6}+19399380x^{4}-875160x^{2}+6435),

P_{17}(x)={\frac {1}{32768}}(583\,401\,555x^{17}-2\,404\,321\,560x^{15}+4 \,071\,834\,900x^{13}-3\,650\,610\,600x^{11}+1\,859\,107\,250x^{9}-535\,422\, 888x^{7}+81\,477\,396x^{5}-5\,542\,680x^{3}+109\,395x).

porque entonces ${\ estilo de visualización P_ {n} (1) = 1}$

P_{n}(x)={\frac {\lambda _{0}+\lambda _{1}x+\lambda _{2}x^{2}+\ldots +\lambda _{n} x^{n)){\lambda _{0}+\lambda _{1}+\ldots +\lambda _{n))}={\frac {\sum \limits _{i=0}^{n }\lambda _{i}x^{i}}{\sum \limits _{i=0}^{n}\lambda _{i}}}.

Propiedades

si , entonces $n \neq 0$ $\forall x\in (-1,\;1)\quad |P_{n}(x)|<1.$
Para el grado es . $n \neq 0$ $P_{n}$ $norte$
La suma de los coeficientes del polinomio de Legendre es 1. $p_n(x)$
La ecuación tiene raíces exactamente diferentes en el segmento $P_{n}(x)=0$ $norte$ $[-1,\;1].$
deja _ Después ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \quad U_{n}(x)=(x^{2}-1)^{n))$ $U'_{n+1}(x)-2(n+1)xU_{n}(x)=0,$ $(x^{2}-1)U'_{n}(x)-2nxU_{n}(x)=0.$
Los polinomios de Legendre asociados son soluciones de la ecuación diferencial ${\frac {d}{dx}}\left[(1-x^{2}){\frac {d}{dx}}P_{n}(x)\right]-{\frac { m^{2}}{(1-x^{2})}}P_{n}(x)+n(n+1)P_{n}(x)=0.$

En , la ecuación toma la forma

metro=0

P'_{n+1}(x)=xP'_{n}(x)+(n+1)P_{n}(x).

La función generadora de los polinomios de Legendre es $\sum _{n=0}^{\infty}P_{n}(z)x^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-2xz+x^{2))} }.$
La condición de ortogonalidad para estos polinomios en el segmento : $[-1,\;1]$ $\int \limits _{-1}^{1}P_{k}(x)P_{l}(x)\,dx={\frac {2}{2k+1}}\delta_{ kl},$

¿ Dónde está el símbolo de Kronecker ?

\delta _{{kl}}

Porque la norma es $n\en \mathbb {N}$ $P_{n}$ $\|P_{n}\|={\sqrt {\int \limits _{-1}^{1}P_{n}^{2}(x)\,dx))={\sqrt { \frac {2}{2n+1}}}.$
La función polinomial de Legendre normalizada está relacionada con la norma por la siguiente relación: $P_{n}$ ${\tilde {P}}_{n}(x)={\frac {P_{n}(x)}{\|P_{n}\|}}={\sqrt {\frac {2n +1}{2}}}P_{n}(x).$
Para cada uno , el sistema de funciones de Legendre asociadas se completa en . $m>0$ $P_{n}^{m}(x),\ n=m,\;m+1,\;\ldots$ $L_{2}(-1,\;1)$
Dependiendo de y , los polinomios de Legendre asociados pueden ser funciones pares o impares: $metro$ $norte$ $P_{n}^{m}(-x)=(-1)^{{m+n}}P_{n}^{m}(x).$ ${\ Displaystyle P_ {2n}}$ es una función par, $P_{2n+1}$ es una función impar.
$P_{n}(1)=1.$
$P_{n}(-1)=(-1)^{n}.$
$P_{2n}(0)={\frac {1}{2^{2n))}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {2n {k}}{\binom {4n-2k}{2n}}0^{2n-2k}={\frac{1}{2^{2n}}}(-1)^{n}{\binom {2n}{n}}$ , desde , y . $\forall k\neq n\quad 0^{2n-2k}=0$ ${\ estilo de visualización 0^{2n-2n}=1}$
Para se realiza . $n \neq 0$ ${\ Displaystyle P_ {2n} (0) \ leqslant {\ frac {1} {\ sqrt {\ pi n}}}}$
$\forall x\in [-1,\;1],\;\forall n\in \mathbb {N} ^{*}\quad |P_{n}(x)|\leqslant {\sqrt { \frac{2}{\pi n(1-x^{2})}}}.$

Serie de polinomios de Legendre

Expansión de una función de Lipschitz en una serie de polinomios de Legendre

La función de Lipschitz es una función con la propiedad $F$

|f(x)-f(y)|\leqslant L|xy|

, donde .

L>0

Esta función se expande en una serie de polinomios de Legendre.

Sea el espacio de aplicaciones continuas en el segmento , y . $\varepsilon (yo)$ ${\ estilo de visualización I = [-1, \; 1]}$ ${\ Displaystyle f \ en \ varepsilon (I)}$ $n\en \mathbb {N}$

Dejar

c_{n}(f)=\int \limits _{-1}^{1}f(x){\tilde {P}}_{n}(x)\,dx,

entonces satisface la siguiente condición: ${\ estilo de visualización c_ {n} (f)}$

\lim _{n\to \infty}c_{n}(f)=0.

Sea y satisfaga las siguientes condiciones: $S_{n}f=\sum _{k=0}^{n}c_{k}(f){\tilde {P}}_{k}$ ${\ Displaystyle S_ {n} f}$

$\forall x\in I\quad S_{n}f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y)f(y)\, dy$ , dónde $K_{n}(x,\;y)={\frac {n+1}{2}}{\frac {P_{n+1}(x)P_{n}(y)-P_{ n+1}(y)P_{n}(x)}{xy}};$
$S_{n}f(x)-f(x)=\int \limits _{-1}^{1}K_{n}(x,\;y){\grande (}f(y) -f(x){\grande)}\,dy;$
$\forall x\in [-1,1]\quad \lim _{n\to \infty }S_{n}f(x)=f(x).$

La función de Lipschitz se puede escribir de la siguiente manera: $F$

f=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(f){\tilde {P}}_{n}.

Descomposición de una función holomorfa

Cualquier función holomorfa dentro de una elipse con focos −1 y +1 se puede representar como una serie: $F$

f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\lambda_{n}P_{n}(x).

Teorema de la suma

Para cantidades que satisfacen las condiciones , , , es un número real , podemos escribir el teorema de la suma para polinomios de Legendre del primer tipo: [7] ${\ estilo de visualización 0 \ leqslant \ psi _ {1} <\ pi}$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty}(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi ,

o, alternativamente a través de la función gamma :

P_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})P_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty }{\frac {\Gamma (k -m+1)}{\Gamma (k+m+1)}}P_{k}^{m}(\cos \psi _{1})P_{k}^{m}(\cos \psi _ {2})\cos m\varfi.

Para los polinomios de Legendre del segundo tipo, el teorema de la suma se parece a [8]

Q_{k}(\cos \psi _{1}\cos \psi _{2}+\sin \psi _{1}\sin \psi _{2}\cos \varphi )=P_{k }(\cos \psi _{1})Q_{k}(\cos \psi _{2})+2\sum \limits _{m=1}^{\infty}(-1)^{m} P_{k}^{-m}(\cos \psi _{1})Q_{k}^{m}(\cos \psi _{2})\cos m\varphi

en condiciones , , , . $0\leqslant \psi _{1}<\pi /2$ $0\leqslant \psi _{2}<\pi$ $\psi _{1}+\psi _{2}<\pi$ $\varphi$

Funciones de Legendre

Los polinomios de Legendre (junto con las funciones de Legendre asociadas ) surgen naturalmente en la teoría del potencial . $P_{{n,\;m}}(x)$

Las funciones esféricas son funciones (en coordenadas esféricas ) de la forma (hasta una constante) $r,\;\theta ,\;\varphi$

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\cos m\varphi

r^{n}P_{n}^{m}(\cos \theta )\sin m\varphi ,

donde están los polinomios de Legendre asociados. También se pueden representar como , donde son funciones esféricas . $P_{n}^{m}$ ${\displaystyle r^{n}Y_{nm))$ ${\ Displaystyle Y_ {nm}}$

Las funciones esféricas satisfacen la ecuación de Laplace en todas partes en . $\mathbb{R} ^{3}$

Notas

↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , pág. 1039.
↑ Bateman, Erdeyi, Vol. 1, 1973 , pág. 126-127.
↑ Bateman, Erdeyi, Vol. 1, 1973 , pág. 140.
↑ Zimring, 1988 , pág. 196.
↑ 1 2 3 Zimring, 1988 , pág. 197.
↑ John W. Eaton, David Bateman, Søren Hauberg, Rik Wehbring. Octava GNU . - Edición 4 para Octave versión 4.4.1. - 2018. - S. 530-531.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , pág. 1027.
↑ Gradstein, Ryzhik, 1963 , pág. 1028.

Literatura

Bateman G., Erdeyi A. Funciones trascendentales superiores = Funciones trascendentales superiores / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2º,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 p. - 14.000 copias.
Vladimirov V. S., Zharinov V. V. Ecuaciones de física matemática. - M. : Fizmatlit, 2004. - ISBN 5-9221-0310-5 .
Gradshtein I.S. , Ryzhik I.M. Tablas de integrales, sumas, series y productos. - Ed. 4º, revisado. - M. : Editorial estatal de literatura física y matemática, 1963. - 19.000 ejemplares.
Campe de Ferrier J., Campbell R., Petio G., Vogel T. Funciones de la física matemática. — M .: Fizmatlit, 1963.
Nikolsky S. M. Fórmulas de cuadratura. — M .: Nauka, 1988.
Zimring Sh. E. Funciones especiales e integrales definidas. Algoritmos. Programas para calculadoras: un manual. - M. : Radio y comunicación, 1988.

Enlaces

Polinomios de Legendre - Universidad de Rochester, 2010.

polinomios ortogonales
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