Grupo abeliano primario

$pags$ -grupo abeliano primario (donde es un número primo fijo ) es un grupo abeliano tal que el orden de cualquier elemento es una potencia de . $pags$ ${\ estilo de visualización (A, +)}$ $A$ $pags$

Ejemplos

${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} _ {p^ {n}), +)}$ es un grupo aditivo de clases de residuos módulo ; $pag^{n}$
${\ estilo de visualización (\ mathbb {Z} _ {p} [x], +)}$ es el grupo aditivo del anillo polinomial sobre el campo . ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {p}}$

Propiedades

Cualquier grupo abeliano periódico (es decir, un grupo sin elementos de orden infinito) se descompone en una suma directa de subgrupos primarios. $pags$

Un grupo abeliano primario se llama elemental si todos sus elementos distintos de cero tienen un orden igual a . ${\ estilo de visualización (A, +)}$ $pags$

Un grupo abeliano es -primario elemental si y sólo si se descompone en una suma directa de grupos de la forma . $A$ $pags$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {Z} _ {p}}$

$pags$ La altura de un elemento es el menor número natural tal que . Si tal natural no existe, entonces el elemento tiene una altura infinita . $a \ en A$ $norte$ $a\in nA$ $norte$ $a$ $pags$

Criterio de Kulikov :Un grupo abeliano primarioes una suma directa de grupos cíclicos si y solo sihay una unión de una cadena ascendente de subgrupos $pags$ $A$ $A$

A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \ldots \subseteq A_{n}\subseteq \ldots,\;\bigcup \limits _{i=1}^{\infty}A_{i}= A

donde -las alturas de los elementos distintos de cero de los subgrupos son menores que un elemento fijo . $pags$ $Ai}$ $k_n$

El criterio de Kulikov generaliza los teoremas de Prufer :

Primer teorema de Prufer : Ungrupo abeliano primario (periódico) acotado es una suma directa de subgrupos cíclicos. $pags$
Segundo teorema de Prufer :un grupo abeliano primario contable se descompone en una suma directa de subgrupos cíclicos si y solo si no contiene elementos distintos de cero de altura infinita. $pags$ $pags$

Literatura

L. Fuchs Grupos abelianos infinitos. T. 1, 2. - M.: Mir, 1974, 1977.
L. Ya. Kulikov Sobre la teoría de los grupos abelianos de cardinalidad arbitraria // Colección matemática , 1941. - V. 9, No. 1. - P. 165-181.
H. Prüfer Untersuchungen über die Zerlegbarkeit der abzählbaren primären abelschen Gruppen // Mathematische Zeitschrift, 1923. - V. 17, No. 1. - P. 35-61.