Principio hertziano

Principio de Hertz , también conocido como el principio de mínima curvatura o el principio de la trayectoria más directa , uno de los principios variacionales de la mecánica, que establece que en ausencia de cualquier fuerza activa ( energía potencial ), de todas las posibles cinemáticamente (es decir, permitidas por los enlaces) trayectorias, sólo será válida aquella que tenga la menor curvatura [1] . Fue utilizado por Hertz para construir mecánicas, en las que la acción de las fuerzas activas fue reemplazada por la introducción de restricciones apropiadas. Propuesto por primera vez en 1894.

El principio de Hertz se ve a menudo como un caso especial del principio gaussiano de mínima restricción , un caso especial del principio de Maupertuis tal como lo trata Jacobi y una generalización de la ley de inercia. La conexión con el principio de Gauss se debe a la proporcionalidad de la fuerza al cuadrado de la curvatura. Con conexiones ideales, el principio hertziano y el principio gaussiano tienen la misma expresión matemática.

La curva de Gauss-Hertz en el camino x (t) = x α (t) en el espacio riemanniano R n × l 2 , δ ij + δ αβ son cuadrados de Lagrange mínimos (suma de series de funciones, convergencia uniforme) [2] .

Expresión matemática

En el principio de Hertz, la función Z se expresa matemáticamente de la siguiente manera:

Z=\sum_{j=1}^{n}\left|{\ddot {\mathbf {r} }}_{j}\right|^{2}

La energía cinética se conserva bajo estas condiciones: $T$

T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}\left|{\dot {\ matemáticasbf {r} }}_{j}\right|^{2}

Dado que el elemento de línea en el sistema de coordenadas -dimensional está definido por la fórmula $ds^{2}$ $3N$

ds^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum_{j=1}^{n}\left|d\mathbf {r}_{j}\ correcto|^{2}

entonces la ley de conservación de la energía también puede tener la forma

\left({\frac {ds}{dt}}\right)^{2}=2T

Al dividir por , aparece otro mínimo: $Z$ ${\ estilo de visualización 2T}$

K\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \sum _{j=1}^{n}\left|{\frac {d^{2}\mathbf {r} _ {j}}{ds^{2}}}\right|^{2}

Dado que es la curvatura local de la trayectoria en un sistema de coordenadas bidimensional, la minimización es equivalente a encontrar una trayectoria con curvatura mínima ( geodésica ). ${\ estilo de visualización {\ sqrt {K}}}$ $3n$ $k$

Literatura

El principio de mínima curvatura // Morshin - Nikish. - M. : Enciclopedia soviética, 1974. - ( Gran enciclopedia soviética : [en 30 volúmenes] / editor en jefe A. M. Prokhorov ; 1969-1978, vol. 17).
Principio hertziano // Gran Enciclopedia Rusa : [en 35 volúmenes] / cap. edición Yu. S. Osipov . - M. : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
Hertz, H. (1896). principios de la mecanica. Papeles Misceláneos. tercero Macmillan.
Georgi Georgiev, Iskren Georgiev. La Mínima Acción y la Métrica de un Sistema Organizado // Sistemas Abiertos y Dinámica de la Información. - 2002. - No. 9(4) . - P. 371-380 .
Constantin Udriste, Massimiliano Ferrara, Ionel Tevy, Oltin Dogaru, Armando Ciancio. El principio de mínima curvatura de Gauss y Hertz y la dinámica geométrica // 9th WSEAS Int. Conf. sobre MATEMÁTICAS Y COMPUTADORAS EN NEGOCIOS Y ECONOMÍA (MCBE '08). - Bucarest, Rumanía, 2008. - 25 de junio. - P. 34-38 .