Area de un circulo

El área de un círculo con radio r es . Aquí ( la letra griega " pi ") denota la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro : π $\pi r^{2}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización \ aproximadamente 3 {,} 14159265.}$

Conceptos relacionados

Sector del círculo (sombreado en verde)
Segmento circular (sombreado en amarillo)

El área del sector del círculo es , donde es el valor angular del arco del sector en radianes [1] . $S={\frac {\theta r^{2}}{2}}$ $\ theta$

El área de un segmento de círculo es , donde es el ángulo en radianes [1] $S={\frac {1}{2}}r^{2}(\theta -\sin \theta )$ $\textstyle\theta$

Historia

Los matemáticos modernos pueden obtener el área de un círculo utilizando métodos de integración o análisis real . Sin embargo, el área de un círculo se estudió allá por la Antigua Grecia . Hipócrates de Quíos (en sus intentos de cuadratura de las lúnulas hipocráticas ) fue el primero en formular el enunciado: el área de un círculo es proporcional al cuadrado de su diámetro. Eudoxo de Knidos en el siglo IV a.C. mi. probó esta afirmación rigurosamente [2] [3] . Sin embargo, no fijaron el valor del factor de proporcionalidad .

Los antiguos matemáticos también intentaron sin éxito resolver el problema de la " cuadratura del círculo ", es decir, construir un cuadrado con la ayuda de un compás y una regla , igual en área a un círculo dado. El problema fue abordado por los mayores científicos antiguos: Anaxágoras , Antifonte , Bryson de Heracles , Arquímedes y otros; la irresolubilidad de este problema se deriva de la naturaleza no algebraica ( trascendencia ) del número $\Pi$ , que fue probada en 1882 por Lindemann [4] .

Arquímedes en el siglo III a.C. mi. utilizó los métodos de la geometría euclidiana , para demostrar en su libro Midiendo el círculo que el área de un círculo es igual al área de un triángulo rectángulo cuya base es igual a la circunferencia del círculo y cuya altura es igual al radio del círculo. En notación moderna, la circunferencia de un círculo es , y el área de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura, lo que le da a Arquímedes el significado exacto del número : $2\pi r$ ${\ estilo de visualización \ pi r^ {2}.}$ $\Pi$

3{\frac{10}{71}}<\pi <3{\frac {1}{7}}

Para probar esto, Arquímedes construyó 96 ágonos inscritos y circunscritos para un círculo y calculó las longitudes de sus lados (ver más abajo).

Los matemáticos europeos medievales utilizaron el método de los indivisibles para justificar la fórmula del área de un círculo . Imagina que desdoblas círculos concéntricos de un grosor infinitamente pequeño en segmentos, obtenemos un triángulo rectángulo con altura r y base (la base se obtiene de la circunferencia exterior del círculo). Calcular el área de un triángulo dará el área de un círculo: $2\pi r$

área = altura de la base = .

{1 \over 2}\cdot

\cdot

{\displaystyle {1 \over 2}\cdot 2\pi r\cdot r<=\pi r^{2))

Evidencia

Transición al límite

El área de un polígono regular es igual a la mitad del perímetro por la apotema (altura). A medida que aumenta el número de lados, el polígono tiende a un círculo y la apotema tiende a un radio. Esto da motivos para creer que el área de un círculo es igual al producto de la mitad de la circunferencia y el radio [5] , es decir . ${\displaystyle \pi \cdot r\cdot r=\pi r^{2))$

Prueba de Arquímedes

Siguiendo a Arquímedes, comparemos el área de un círculo con el área de un triángulo rectángulo, cuya base es igual a la circunferencia del círculo y la altura es igual al radio. Si el área del círculo no es igual al área del triángulo, debe ser menor o mayor. Excluimos ambas opciones, lo que deja solo una posibilidad: las áreas son iguales. Para la prueba, usaremos polígonos regulares .

No más

Suponga que el área del círculo C es mayor que el área del triángulo T = 1 ⁄ 2 cr . Sea E el exceso de área. Inscribamos un cuadrado en un círculo de modo que sus cuatro esquinas estén sobre el círculo. Hay cuatro segmentos entre el cuadrado y el círculo. Si su área total G 4 es mayor que E , dividimos cada arco por la mitad, lo que convierte el cuadrado inscrito en un octágono y forma ocho segmentos con un espacio total menor, G 8 . Continuamos la división hasta que el espacio total G n sea menor que E. Ahora el área del polígono inscrito P n = C − G n debe ser mayor que el área del triángulo.

{\begin{alineado}E&{}=CT\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C-G_{n}\\&{}>CE\\P_{n} &{}>T\end{alineado}}

Pero esto conduce a una contradicción. Para probarlo, dibujemos una altura desde el centro del círculo hasta la mitad del lado del polígono, su longitud h es menor que el radio del círculo. Deje que cada lado del polígono tenga una longitud s , la suma de todos los lados será ns , y este valor es menor que la circunferencia del círculo. El área de un polígono está formada por n triángulos iguales de altura h con base s , lo que da 1 ⁄ 2 nhs . Pero h < r y ns < c , por lo que el área del polígono debe ser menor que el área del triángulo 1 ⁄ 2 cr , es una contradicción.

Nada menos

Supongamos que el área de un círculo es menor que el área de un triángulo. Sea D la diferencia de áreas. Describe un cuadrado alrededor de un círculo de modo que los puntos medios de los lados estén sobre él. Si el espacio total entre el cuadrado y el círculo G 4 es mayor que D , cortamos las esquinas con tangentes, convirtiendo el cuadrado en un octágono y continuamos tales cortes hasta que el área del espacio sea menor que D. El área del polígono P n debe ser menor que T .

{\begin{alineado}D&{}=TC\\&{}>G_{n}\\P_{n}&{}=C+G_{n}\\&{}<C+D\\P_{ n}&{}<T\end{alineado}}

Esto también conduce a una contradicción. Cada perpendicular trazada desde el centro del círculo hasta la mitad del lado es un radio, es decir tiene longitud r . Y como la suma de los lados es mayor que la circunferencia del círculo, un polígono de n triángulos idénticos dará un área mayor que T. Nuevamente tenemos una contradicción.

Así, el área de un círculo es exactamente igual al área de un triángulo.

Prueba por reordenamiento

Siguiendo a Sato Moshun [6] y Leonardo da Vinci [7] , podemos utilizar polígonos regulares inscritos de otra forma. Supongamos que hemos entrado en un hexágono . Cortemos el hexágono en seis triángulos, haciendo secciones por el centro. Dos triángulos opuestos contienen diámetros comunes. Ahora mueve los triángulos para que los lados radiales se vuelvan adyacentes. Ahora el par de triángulos forma un paralelogramo , en el que los lados del hexágono forman dos lados opuestos de longitud s . Los dos lados radiales se convierten en lados laterales y la altura del paralelogramo es h (como en la demostración de Arquímedes). De hecho, podemos juntar todos los triángulos en un gran paralelogramo colocando los paralelogramos resultantes (de dos triángulos) en una fila. Lo mismo ocurrirá si aumentamos el número de lados. Para un polígono de 2n lados, el paralelogramo tendrá base ns y altura h . Al aumentar el número de lados, la longitud de la base del paralelogramo aumenta, tendiendo a la mitad del círculo, y la altura tiende al radio. En el límite, el paralelogramo se convierte en un rectángulo de ancho π r y alto r .

Aproximación del área de un círculo de radio unidad por reordenación de triángulos.

polígono
norte	lado	base	altura	cuadrado
cuatro	1.4142136	2.8284271	0.7071068	2.0000000
6	1.0000000	3.0000000	0.8660254	2.5980762
ocho	0.7653669	3.0614675	0.9238795	2.8284271
diez	0.6180340	3.0901699	0.9510565	2.9389263
12	0.5176381	3.1058285	0.9659258	3.0000000
catorce	0.4450419	3.1152931	0.9749279	3.0371862
dieciséis	0.3901806	3.1214452	0.9807853	3.0614675
96	0.0654382	3.1410320	0.9994646	3.1393502
∞	1/∞	π	una	π

Integración

Usando integrales, podemos sumar el área de un círculo dividiéndolo en círculos concéntricos como una cebolla . El área de una "capa" infinitamente delgada de radio t será igual a 2 π t dt , es decir, el producto de la circunferencia y el espesor de la capa. Como resultado, obtenemos una integral elemental para un círculo de radio r .

{\begin{alineado}\mathrm {Área} (r)&{}=\int _{0}^{r}2\pi t\,dt\\&{}=\left[(2\pi ){ \frac {t^{2}}{2}}\right]_{t=0}^{r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{alineado}}

Puede dividir el círculo no en anillos, sino en triángulos con una base infinitamente pequeña. El área de cada uno de estos triángulos es 1/2 * r * dt. Sumando (integrando) todas las áreas de estos triángulos, obtenemos la fórmula del círculo:

{\begin{alineado}\mathrm {Área} (r)&{}=\int _{0}^{2\pi r}{\frac {1}{2}}r\,dt\\&{} =\left[{\frac {1}{2}}rt\right]_{t=0}^{2\pi r}\\&{}=\pi r^{2}.\end{alineado} }

Aproximación rápida

Para aplicar la fórmula del área de un círculo, debe conocer el valor del número $\Pi$ con la precisión requerida . Los cálculos realizados por Arquímedes requerían mucho tiempo y se decidió por un polígono de 96 lados. Un método más rápido utiliza las ideas de Snell (1621), luego desarrolladas por Huygens (1654) [8] .

Método de duplicación de Arquímedes

Si se da un círculo, sea u n el perímetro del n -ágono regular inscrito , y U n el perímetro del n -ágono regular circunscrito . Entonces u n y U n son los límites inferior y superior de la circunferencia, que se vuelven más precisos a medida que n aumenta , y su valor promedio ( u n + U n )/2 se convierte en una aproximación particularmente buena de la circunferencia. Para calcular u n y U n para n grande , Arquímedes derivó las siguientes fórmulas:

u_{2n}={\raíz cuadrada {U_{2n}u_{n}}}

( media geométrica )

U_{2n}={\frac{2U_{n}u_{n}}{U_{n}+u_{n}}}

( media armónica ).

Comenzando con un hexágono, Arquímedes duplicó n cuatro veces, alcanzando un 96-ágono, lo que le dio una buena aproximación de la circunferencia de un círculo.

En notación moderna, estos cálculos se pueden reproducir (e ir más allá). Para el círculo unitario, el hexágono inscrito tiene perímetro u 6 = 6, y el hexágono circunscrito tiene perímetro U 6 = 4√3. Duplicando siete veces, obtenemos

Duplicando a Arquímedes siete veces; norte = 6×2 k .

k	norte	tú n	U n	( tu norte + tu norte ) /4
0	6	6.0000000	6.9282032	3.2320508
una	12	6.2116571	6.4307806	3.1606094
2	24	6.2652572	6.3193199	3.1461443
3	48	6.2787004	6.2921724	3.1427182
cuatro	96	6.2820639	6.2854292	3.1418733
5	192	6.2829049	6.2837461	3.1416628
6	384	6.2831152	6.2833255	3.1416102
7	768	6.2831678	6.2832204	3.1415970

(aquí ( u n + U n )/2 se aproxima a la longitud del círculo unitario, que es 2 π , entonces ( u n + U n )/4 se aproxima a π )

La última línea de la tabla contiene un número cercano a 355 ⁄ 113 , una excelente aproximación racional del número π ; las mejores aproximaciones tienen denominadores varios órdenes de magnitud mayores [9] .

Mejora de Snell-Huygens

Snell propuso (y Huygens demostró) límites más estrechos que los de Arquímedes:

n{\frac {3\sin {\frac {\pi }{n))}{2+\cos {\frac {\pi }{n))))<\pi <n[2\sin {\frac {\pi }{3n}}+\tan {\frac {\pi }{3n}}].

Para n = 48, la fórmula da una mejor aproximación (alrededor de 3,14159292) que el método de Arquímedes para n = 768.

Desarrollo de la fórmula de duplicación de Arquímedes

Sea un lado de un n -ágono regular inscrito de longitud s n y sean los puntos A y B sus extremos. Sea A′ el punto opuesto de A en el círculo, de modo que A′A es el diámetro y A′AB es el triángulo inscrito en base a este diámetro. Por el teorema de Tales , este triángulo es un triángulo rectángulo (el ángulo B es recto). Sea la longitud de A′B igual a c n y esta longitud se llamará complemento de s n . Entonces c norte 2 + s norte 2 = ( 2 r ) 2 . Sea el punto C bisectriz del arco AB, y sea C′ el punto del círculo opuesto a C. Entonces, la longitud de CA es s 2 n , la longitud de C′A es igual a c 2 n , y C′CA es nuevamente un triángulo rectángulo basado en el diámetro de C′C. Como C biseca al arco AB, el diámetro de C′C es perpendicular a la cuerda AB, a la que corta, digamos, en el punto P. El triángulo C′AP es entonces rectángulo y similar a C′CA, ya que tienen un ángulo común C′. Obtenemos que los tres lados correspondientes están en la misma proporción. En particular, tenemos C′A : C′C = C′P : C′A y AP : C′A = CA : C′C. El centro del círculo O biseca A′A, por lo que el triángulo OAP es similar a A′AB y la longitud de OP es la mitad de la longitud de A′B. Como resultado, obtenemos

{\begin{alineado}c_{2n}^{2}&{}=\left(r+{\frac {1}{2}}c_{n}\right)2r\\c_{2n}&{}= {\frac{s_{n}}{s_{2n}}}.\end{alineado}}

En la primera igualdad, el segmento C′P es igual a la suma C′O+OP, que es igual a r + 1 ⁄ 2 c n , y el segmento C′C es el diámetro y su longitud es 2 r . Para el círculo unitario, obtenemos la famosa fórmula de duplicación de Ludolf van Zeulen

c_{2n}={\sqrt {2+c_{n))}.

Si ahora construimos un n -ágono regular circunscrito con el lado ″B″ paralelo a AB, entonces OAB y OA″B″ son similares con la relación de similitud A″B″ : AB = OC : OP. Denote el lado descrito S n , luego la relación se convierte en S n : s n = 1 : 1 ⁄ 2 c n . (Usamos nuevamente el hecho de que OP es la mitad de A′B). Obtenemos

c_{n}=2{\frac{s_{n}}{S_{n}}}.

Denotemos el perímetro del polígono inscrito como u n = ns n , y el circunscrito como U n = nS n . Combinando igualdades, obtenemos

c_{2n}={\frac{s_{n}}{s_{2n}}}=2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}},

asi que

u_{2n}^{2}=u_{n}U_{2n}.

Obtenga la media geométrica .

También puede dar salida

2{\frac {s_{2n}}{S_{2n}}}{\frac {s_{n}}{s_{2n}}}=2+2{\frac {s_{n}}{S_{n }}},

{\frac {2}{U_{2n}}}={\frac {1}{u_{n}}}+{\frac {1}{U_{n}}}.

Obtuvimos la media armónica .

Aproximación por lanzamientos aleatorios

Si no se dispone de métodos más eficaces, se puede recurrir al "lanzamiento de dardos". Este método de Monte Carlo aprovecha el hecho de que cuando los lanzamientos aleatorios de puntos se distribuyen uniformemente sobre el área del cuadrado en el que se encuentra el círculo, el número de aciertos en el círculo se aproxima a la relación entre el área del círculo y el área de la plaza. Este método debe tomarse como último recurso para calcular el área de un círculo (o una figura de cualquier forma), ya que requiere una gran cantidad de intentos para obtener una precisión aceptable. Para obtener una precisión de 10 − n , se requieren alrededor de 100 n ensayos aleatorios [10] .

Reordenamiento final

Como vimos, al romper el disco en un número infinito de piezas, podemos armar un rectángulo con ellas. Lackowicz [11] descubrió un hecho interesante hace relativamente poco tiempo: podemos dividir un círculo en un número grande pero finito de piezas y luego reagruparlas en un cuadrado de la misma área. La misma cuestión de tal partición finita se llama " Cuadrar el círculo de Tarski ".

Generalizaciones

Podemos estirar el círculo a una forma de elipse . Dado que este tramo es una transformación lineal del plano, cambia el área pero conserva las proporciones de área . Este hecho se puede utilizar para calcular el área de una elipse arbitraria, a partir del área de un círculo.

Deje que la elipse unitaria se describa mediante un cuadrado con lado 2. La transformación transforma el círculo en una elipse comprimiendo o estirando los diámetros horizontal y vertical al eje menor y mayor de la elipse. El cuadrado se convierte en un rectángulo circunscrito alrededor de una elipse. La razón del área de un círculo al área de un cuadrado es π /4, y la razón del área de una elipse al área de un rectángulo también es π /4. Si a y b son las longitudes de los ejes mayor y menor de la elipse. El área del rectángulo será igual a ab , y luego el área de la elipse será π ab /4.

Podemos extender técnicas similares a dimensiones superiores. Por ejemplo, si queremos calcular el volumen dentro de una esfera y conocemos la fórmula para el área de una esfera, podemos usar un truco similar al enfoque de "cebolla" para un círculo.

Notas

↑ 1 2 Manual de matemáticas elementales, 2006 , p. 342.
↑ Van der Waerden . Ciencia del despertar. Matemáticas del antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. - M. : Nauka, 1959. - S. 204. - 456 p.
↑ Historia de las matemáticas. Desde la antigüedad hasta el comienzo de la Nueva Era // Historia de las Matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1970. - T. I. - S. 102.
↑ Belozerov S. E. Cinco problemas famosos de la antigüedad. Historia y teoría moderna. - Rostov: editorial de la Universidad de Rostov, 1975. - S. 144-168. — 320 s.
↑ Colina, Jorge . Conferencias sobre geometría para principiantes Archivado el 7 de enero de 2014 en Wayback Machine , página 124 (1894).
↑ Smith, Mikami, 1914 .
↑ Beckman, 1976 .
↑ Gerretsen, Verdenduin, 1983 .
↑ ¡No todas las mejores aproximaciones racionales se reducen a fracciones continuas! . Fecha de acceso: 14 de enero de 2015. Archivado desde el original el 28 de agosto de 2014. (indefinido)
↑ Thijsse, 2006 .
↑ Laczkovich, 1990 .

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. - M. : AST, 2006. - 509 p. — ISBN 5-17-009554-6 .
Arquímedes traducido por Thomas Heath . Las obras de Arquímedes. — Dover , c. 260 a. C., publicado en 2002, págs. 91–93 . - ISBN 978-0-486-42084-4 .
Petr Beckman. Una historia de Pi. —St . Griffin de Martin , 1976. - ISBN 978-0-312-38185-1 .
J. Gerretsen, P. Verdenduin. Fundamentos de Matemáticas, Tomo II: Geometría. - MIT Press , 1983. - S. 243-250 . - ISBN 978-0-262-52094-2 .
Sergio Lang. ¡Matemáticas! : Encuentros con Estudiantes de Secundaria. - Springer-Verlag , 1985. - ISBN 978-0-387-96129-3 .
Miklós Laczkovich. Equidecomposability y discrepancia: una solución al problema de cuadratura del círculo de Tarski // Journal für die reine und angewandte Mathematik . - 1990. - T. 404 . — págs. 77–117 .
David Eugene Smith, Yoshio Mikami. Una historia de las matemáticas japonesas. - Chicago: Open Court Publishing , 1914. - págs. 130-132 . — ISBN 978-0-87548-170-8 .
JMThijsse. Física Computacional. - Cambridge University Press, 2006. - Pág. 273 . - ISBN 978-0-521-57588-1 .

Enlaces

Calculadora de area de un circulo
Área encerrada por un círculo Archivado el 4 de diciembre de 2008 en Wayback Machine (con animación interactiva)
Science News sobre el problema de Tarski Archivado el 13 de abril de 2008 en Wayback Machine .