Predicado

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Un predicado ( lat. praedicatum "declarado, mencionado, dicho") es una declaración hecha sobre un sujeto . El sujeto del enunciado es aquello sobre lo que se hace el enunciado.

Un predicado en programación es una expresión que utiliza uno o más valores con un resultado booleano .

Más adelante en este artículo, la palabra predicado se usa en el sentido de la forma proposicional .

Definición

Un predicado ( -local, o -ary ) es una función con un conjunto de valores (o {falso, verdadero}) definidos en un conjunto . Así, cada conjunto de elementos del conjunto se caracteriza como "verdadero" o como "falso". $norte$ $norte$ $\{0,1\}$ $M={{M}_{{1}}}\veces {{M}_{{2}}}\veces \ldots \veces {{M}_{{n}}}$ $METRO$

Un predicado se puede asociar con una relación matemática : si una tupla pertenece a una relación, entonces el predicado devolverá 1. En particular, un predicado de un solo lugar define una relación de pertenencia a algún conjunto . ${\ estilo de visualización (m_ {1}, m_ {2}, \ puntos, m_ {n})}$

Un predicado es uno de los elementos de la lógica de primer orden y superior . Comenzando con la lógica de segundo orden , las fórmulas se pueden cuantificar mediante predicados.

El predicado se llama idénticamente verdadero y escriben:

P\izquierda(x_{1},...,x_{n}\derecha)\equiv 1

si en cualquier conjunto de argumentos se evalúa como . $una$

El predicado se llama idénticamente falso y escriben:

P\izquierda(x_{1},...,x_{n}\derecha)\equiv 0

si en cualquier conjunto de argumentos se evalúa como . ${\ estilo de visualización 0}$

Un predicado se llama satisfacible si en al menos un conjunto de argumentos toma el valor . $una$

Dado que los predicados toman solo dos valores, todas las operaciones del álgebra booleana se aplican a ellos , por ejemplo: negación , implicación , conjunción , disyunción , etc.

Ejemplos

Denote por el predicado la relación de igualdad (“ ”), donde . En este caso, el predicado se evaluará como verdadero para todos los valores iguales y . ${\ Displaystyle EQ (x, y)}$ $x=y$ ${\ estilo de visualización x, y \ en \ mathbb {R}}$ ${\ ecualizador de estilo de pantalla}$ $X$ $y$

Un ejemplo más mundano sería el predicado LIVES para la relación " vive en la ciudad en la calle " o LOVES para " ama " y pertenece a , donde el conjunto es el conjunto de todas las personas. $(x, y, z)$ $X$ $y$ $z$ $(x, y)$ $X$ $y$ $X$ $y$ $METRO$ $METRO$

Un predicado es algo que se afirma o niega sobre el sujeto de un juicio.

Operaciones sobre predicados

Los predicados, como las proposiciones, toman dos valores: verdadero y falso, por lo que se les aplican todas las operaciones de la lógica proposicional. Considere la aplicación de operaciones de lógica proposicional a predicados usando ejemplos de predicados de un solo lugar.

Operaciones lógicas

La conjunción de dos predicados A(x) y B(x) es un nuevo predicado que toma el valor "verdadero" para aquellos y sólo aquellos valores de x de T para los cuales cada uno de los predicados toma el valor "verdadero", y toma el valor "falso" en todos los demás casos. El conjunto de verdad T de un predicado es la intersección de los conjuntos de verdad de los predicados A(x) -T1 y B(x) - T2, es decir, T = T1 ∩ T2. Por ejemplo: A(x): "x es un número par", B(x): "x es un múltiplo de 3". A(x) B(x) - "x es un número par y x es un múltiplo de 3". Es decir, el predicado "x es divisible por 6". $A\izquierda(x\derecha)\cuña B\izquierda(x\derecha)$ $A\izquierda(x\derecha)\cuña B\izquierda(x\derecha)$

La disyunción de dos predicados A(x) y B(x) es un nuevo predicado que toma el valor "falso" para aquellos y sólo aquellos valores de x de T para los cuales cada uno de los predicados toma el valor "falso" y toma el valor "verdadero" en todos los demás casos. La región de verdad T de un predicado es la unión de las regiones de verdad de los predicados A(x) - T1 y B(x) - T2, es decir, T = T1 ⋃ T2. $A\izquierda(x\derecha)\vee B\izquierda(x\derecha)$ $A\izquierda(x\derecha)\vee B\izquierda(x\derecha)$

La negación del predicado A(x) es un nuevo predicado ¬A(x), que toma el valor "verdadero" para aquellos y sólo aquellos valores de x de T para los cuales el predicado A(x) toma el valor " falso", y toma el valor "falso" si A(x) es verdadero.

El conjunto de verdad del predicado x X es el complemento T' del conjunto T en el conjunto X.

La implicación de los predicados A(x) y B(x) es un nuevo predicado que es falso para aquellos y solo aquellos valores de x de T para los cuales A(x) es verdadero y B(x) es falso, y se evalúa como "verdadero" en todos los demás casos. Dicen: "Si A(x), entonces B(x)". $A\izquierda(x\derecha)\Flecha derecha B\izquierda(x\derecha)$

Por ejemplo. A(x): "El número natural x es divisible por 3". B(x): "Un número natural x es divisible por 4", puedes hacer un predicado: "Si un número natural x es divisible por 3, entonces también es divisible por 4". El conjunto de verdad de un predicado es la unión del conjunto de verdad T2 del predicado B(x) y el complemento del conjunto de verdad T1 del predicado A(x). $A\izquierda(x\derecha)\Flecha derecha B\izquierda(x\derecha)$

Operaciones cuantificadoras

cuantificador universal $\para todos$
Cuantificador de existencia $\existe$
Cuantificador de existencia en la variable 1 $X$

Véase también

Literatura

Guts AK Lógica matemática y teoría de algoritmos. - Patrimonio, Diálogo-Siberia, 2003.
Ershov Yu. L. , Palyutin E. A. Lógica matemática. — M.: Nauka, Fizmatlit , 1987.
Igoshin VI Lógica matemática y teoría de algoritmos. — Academia, 2008.
Kleene S. K. Lógica matemática. — M.: Mir, 1973.
Mendelson E. Introducción a la lógica matemática. — M.: Nauka, 1971.
Novikov PS Elementos de lógica matemática. — M.: Nauka, 1973.

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