Espacio de urisohn

El espacio de Urysohn es un espacio métrico , universal en cierto sentido. Usualmente denotado . ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

Definición

El espacio de Urysohn es un espacio métrico separable completo con las siguientes dos propiedades: ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

Universalidad: cualquier espacio métrico finito es isométrico a algún subconjunto . ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$
Homogeneidad finita: para dos subconjuntos isométricos finitos , cualquier isometría entre ellos se extiende a una isometría global . $Y_{1},Y_{2}\subconjunto \mathbb {U}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

Nota

De manera equivalente, el espacio de Urysohn se puede definir como un espacio métrico separable completo que tiene la propiedad de extensión; es decir, cualquier mapeo isométrico de un subconjunto de un espacio métrico finito se puede extender a un mapeo isométrico . ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$ $A\to \mathbb {U}$ $A$ $F$ $F\to \mathbb {U}$

Propiedades

El espacio de Urysohn existe y es único hasta la isometría. ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

El espacio de Urysohn es compactamente homogéneo . Es decir, cualquier mapeo isométrico de un subconjunto compacto puede extenderse a una isometría . ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$ $K\subconjunto \mathbb {U}$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

El espacio de Urysohn es homeomorfo al producto de un número contable de líneas reales. [una] ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$

Bajo algún procedimiento natural para generar un espacio métrico separable completo aleatorio, el espacio resultante resulta casi seguro que es isométrico al espacio de Urysohn.
- Esta propiedad es análoga a la propiedad básica del gráfico de Rado-Erdős-Rényi .

Historia

Maurice Fréchet demostró que el espacio es $\ell ^{\infty}$ universal, es decir, incluye una copia isométrica de cualquier espacio métrico separable. Sin embargo, a diferencia del espacio de Urysohn, no es finitamente homogéneo ni separable. Planteó la cuestión de la existencia de un espacio separable con esta propiedad. Tal espacio fue construido por Pavel Samuilovich Uryson . [2] $\ell ^{\infty}$

Miroslav Katetov dio una respuesta positiva a la pregunta planteada por Uryson sobre la existencia de un espacio universal incompleto finitamente homogéneo . [3] En el mismo artículo, se da una construcción ligeramente simplificada del espacio de Urysohn.

Notas

↑ V. Uspenskij. "El espacio métrico universal de Urysohn es homeomorfo a un espacio de Hilbert". TopologíaAplicación 139.1-3 (2004), 145–149.
↑
- "Sur un espace metrique universel" Comptes Rendus Acad, París, 180 (1925), p. 803 (comunicación breve)
- "Sur un espace metric universel" Bull, de Sciences Mathematiques, 2ª serie, vol.51, pp.1-38.
  - Traducción: Uryson, PS "Sobre el espacio métrico universal". PD Uryson. Trabaja en topología y otras áreas de las matemáticas. M: 747-777.
↑ M. Kattov. “Sobre los espacios métricos universales”. Topología general y sus relaciones con el análisis moderno y el álgebra, VI (Praga, 1986). vol. 16.Res. Exp. Matemáticas. Heldermann, Berlín 1988, 323–330.

Enlaces

S. A. Bogatyi, Homogeneidad compacta del espacio métrico universal de Uryson , Matemáticas rusas .

A. M. Vershik , Un espacio métrico aleatorio es un espacio de Urysohn, Dokl. RAN , 387 :6 (2002), 733-736

A. M. Vershik, Universality and Randomness in Geometry and Analysis , grabación de video de una conferencia el 28 de septiembre de 2006 en el Seminario de todo el instituto "Matemáticas y sus aplicaciones" del Instituto Matemático. V. A. Steklov RAS.

A. M. Vershik, Espacios métricos aleatorios y universalidad , Uspekhi Mat . Nauk , 59 :2(356) (2004), 65-104.

J. Melleray, Algunas propiedades geométricas y dinámicas del espacio de Urysohn. TopologíaAplicación 155 (2008), núm. 14, 1531-1560.