Espacio homogéneo

Un espacio homogéneo puede describirse informalmente como un espacio en el que todos los puntos son iguales , es decir, existe una simetría espacial que lleva cualquier punto a otro. La definición es bastante general y tiene varias variantes. El espacio homogéneo incluye espacios de geometría clásica como el espacio euclidiano, el espacio de Lobachevsky, el espacio afín , el espacio proyectivo y otros.

Definición

Un espacio homogéneo es un conjunto X con una acción transitiva distinguida del grupo G.

Los elementos de X se llaman puntos del espacio homogéneo.
Los elementos de G se denominan simetrías espaciales , y el propio grupo G se denomina grupo de movimientos o grupo básico de un espacio homogéneo.
Un subgrupo que fija un elemento se llama estabilizador . $H_{x}<G$ $x\en X$ $X$
Si un conjunto X está dotado de una estructura adicional, como una métrica , una topología o una estructura uniforme , entonces se supone que la acción de G preserva esa estructura. Por ejemplo, en el caso de una métrica, se supone que la acción es isométrica . De manera similar, si X es una variedad suave , entonces los elementos del grupo son difeomorfismos .

Propiedades

Todos los estabilizadores son subgrupos conjugados.
Un espacio homogéneo con un grupo básico G se puede identificar con las clases laterales izquierdas del estabilizador H . En este caso, la acción izquierda de G sobre sí mismo genera una acción sobre el espacio lateral G/H .

Ejemplos

espacios métricos

espacio euclidiano con acción de grupo de isometría; el estabilizador de esta acción es el grupo de transformaciones ortogonales. ${\ estilo de visualización \ mathbb {E} ^ {n}}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {O} (n)}$
Esfera estándar con las siguientes acciones: ${\ matemáticas {S}}^{n}$
- Grupos de transformaciones ortogonales ; el estabilizador de esta acción es isomorfo al grupo . ${\ estilo de visualización \ mathrm {O} (n)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {O} (n-1)}$
- Grupos : un grupo ortogonal especial; el estabilizador de esta acción es isomorfo al grupo . ${\ matemáticas {SO}} (n)$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {SO} (n-1)}$
Espacio Lobachevsky con la acción del grupo Lorentz .
Grassmanniano : . $\mathrm {Gr} (r,n)=\mathrm {O} (n)/(\mathrm {O} (r)\times \mathrm {O} (nr))$

Otro

Espacio afín (para grupo afín , punto estabilizador del grupo lineal completo ): . $\mathbf {A} ^{n}=\mathrm {Aff} (n,K)/\mathrm {GL} (n,k)$
Espacios vectoriales topológicos (en el sentido topológico).
Antidesitter espacio : . $\mathrm {AdS} _{n+1}=\mathrm {O} (2,n)/\mathrm {O} (1,n)$

Variaciones y generalizaciones

Se dice que un espacio métrico es homogéneo puntualmente si el mapeo isométrico de subconjuntos puntuales de in puede extenderse a una isometría $X$ $norte$ $norte$ $K\subconjunto X$ $X$ $X$
Los espacios finitamente homogéneos, numerablemente homogéneos, compactamente homogéneos, etc., se definen de manera similar.
El espacio de doble cociente es el cociente del grupo por el subgrupo que actúa a derecha e izquierda. ${\ estilo de visualización G/\!/H}$ $GRAMO$ $H<G\veces G$ $GRAMO$
Los espacios vectoriales prehomogéneos son un espacio vectorial de dimensión finita V con una acción de grupo algebraica G tal que existe una órbita G que está abierta en la topología de Zariski (y por lo tanto densa). Un ejemplo es el grupo GL(1) que actúa en un espacio unidimensional . La idea de los espacios vectoriales prehomogéneos fue propuesta por Mikio Sato .

Véase también

Homogeneidad del espacio

Literatura

L. D. Landau, E. M. Lifshits. Física teórica. En 10 tomos. - M. : "Nauka", 1988. - T. 2. - ISBN 5-02-014420-7 .
Steve Weinberg . Gravitación y Cosmología (Inglés) . — John Wiley and Sons, 1972.
John Milnor , James D. Stasheff. Clases características . - Prensa de la Universidad de Princeton , 1974. - ISBN 0-691-08122-0 .
Takashi Koda. Una Introducción a la Geometría de Espacios Homogéneos . — Universidad Nacional Kyungpook.
Menelaos Zikidis. Espacios Homogéneos . — Universidad de Heidelberg.
Shoshichi Kobayashi , Katsumi Nomizu . capítulo X // Fundamentos de la Geometría Diferencial . - Biblioteca de clásicos de Wiley, 1969. - Vol. 2.