Espacio antidesitter

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El espacio anti-de Sitter es una variedad pseudo-riemanniana de curvatura negativa constante . Puede considerarse un análogo pseudo-riemanniano del espacio hiperbólico bidimensional . Nombrado en oposición al espacio de De Sitter , comúnmente denotado $norte$ $Anuncio_{n}$

El espacio AdS juega un papel muy importante en la relatividad general , ya que surge como una solución máximamente simétrica de las ecuaciones de Einstein en el vacío con una constante cosmológica negativa : $\lambda$

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R-\Lambda g_{\mu \nu }=0

Definición de AdS como superficie de incrustación

El espacio se puede incrustar en un espacio plano [1] . Esta incrustación parece un hiperboloide de una hoja dado por la ecuación: $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$

-y_{0}^{2}+\sum_{i=1}^{d}y_{i}^{2}-y_{d+1}^{2}=-R^{2 }

( 1 )

donde la métrica en el espacio ambiental se da como: ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$

ds^{2}=-(dy_{0})^{2}+\sum_{i=1}^{d}(dy_{i})^{2}-(dy_{d+1 })^{2}=\eta _{\mu \nu }dy^{\mu }dy^{\nu },

\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,...,+1,-1),

y la constante R es el radio del espacio . Se expresa en términos de la constante cosmológica en la ecuación de Einstein : $AnuncioS_{d+1}$ $\lambda$

\Lambda =-{\frac {d(d-1)}{2R^{2))}.

( 2 )

La incrustación anterior sirve como una definición estándar del espacio , que se implica más adelante en el texto [2] . La ecuación ( 1 ) se conserva durante las rotaciones en el espacio ambiental. Como resultado, el grupo es isomorfo al grupo de isometrías (transformaciones que no cambian la distancia) del espacio . Esta propiedad juega un papel muy importante en la correspondencia AdS/CFT en la teoría de cuerdas , ya que un grupo es un grupo de transformaciones conformes en el espacio de Minkowski de cuatro dimensiones. ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\ Displaystyle SO (2, d)}$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización SO (2,4)}$

Definición de AdS como un espacio homogéneo

También hay una forma topológica de definir un espacio como un espacio homogéneo, es decir conjunto de puntos con acción transitiva distinguida de algún grupo sobre él. En el caso de espacios máximamente simétricos (es decir, espacios homogéneos e isotrópicos), es un grupo de isometrías que determina completamente la topología de tales espacios [3] Por ejemplo, en el caso de una esfera bidimensional, existe un incrustando en . Restringiendo la acción del grupo de rotación está claro que para cada punto el estabilizador es el grupo , es decir las rotaciones en el plano tangente al punto no cambian la posición del punto . De ello se deduce que el espacio de una esfera bidimensional se puede definir como la relación de dos grupos ortogonales [4] : $AnuncioS_{d+1}$ $GRAMO$ $GRAMO$ $S^{2}$ $\mathbb{R} ^{3}$ ${\ estilo de visualización O (3)}$ $\mathbb{R} ^{3}$ $S^{2}$ ${\ estilo de visualización x \ en S ^ {2}}$ ${\text{Puñalada}}(x)=O(2)$ $S^{2}$ $X$ $X$

S^{2}={\frac{O(3)}{O(2)))

Argumentando de manera similar al incrustar el espacio en , podemos definir el espacio AdS como la proporción de dos grupos ortogonales generalizados: $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$

AdS_{d+1}={\frac {O(2,d)}{O(1,d)))

Propiedades generales de la métrica del espacio AdS

Hay muchas formas de escribir (parametrizar) la métrica del espacio AdS. Todas ellas son soluciones diferentes de la ecuación de incrustación ( 1 ). Para espacios con curvatura constante, es común representar la métrica en una forma conformemente plana [5] :

{\displaystyle ds^{2}=f(x^{2})\eta_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))

donde , , es alguna función de signo constante. Por ejemplo, la ecuación de incrustación ( 1 ) se puede resolver introduciendo las coordenadas locales en AdS correspondientes al mapeo (proyección estereográfica): ${\ estilo de visualización f (x ^ {2})}$ ${\displaystyle x^{2}=\eta_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu ))$ ${\ estilo de visualización x^{1},...,x^{d+1}}$

{\displaystyle y^{0}=R{\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2))))

{\displaystyle y^{\mu }=R{\frac {2Rx^{\mu }}{R^{2}-x^{2))))

dónde

x^{2}=(x^{1})^{2}+...(x^{d})^{2}-(x^{d+1})^{2}\ necesario R^{2}

{\ estilo de visualización \ mu = 1,..., d+1}

lo que lleva a la conocida parametrización de la métrica del espacio AdS como un espacio hiperbólico típico (ver, por ejemplo, [5] ):

ds^{2}={\frac {4\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}{(1+K_{0}\eta_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu })^{2))}.

Aquí

{\displaystyle K_{0}=-{\frac{1}{R^{2))))

es una curvatura seccional constante [6] . Según el lema de Schur (geometría de Riemann) , el tensor de Riemann de espacios de curvatura constante se expresa mediante : $K_{0}$

R_{\mu \nu \rho \sigma}=K_{0}(g_{\mu \rho}g_{\nu \sigma}-g_{\nu \rho}g_{\mu \sigma}) .

A partir de aquí se pueden obtener expresiones para el tensor de Ricci y la curvatura escalar del espacio : $R_{\mu\nu}$ ${\ estilo de visualización {\ cal {R}}}$ $AnuncioS_{d+1}$

R_{\mu \nu }=g^{\rho \sigma }R_{\rho \mu \sigma \nu }=(K_{0}d)g_{\mu \nu },

{\cal {R}}=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=d(d+1)K_{0}.

Como puede verse en ( 2 ), la curvatura distinta de cero del espacio dimensional y surge debido a la constante cosmológica distinta de cero en las ecuaciones de Einstein: $K_{0}$ ${\ estilo de visualización (d + 1)}$ $\lambda$

\Lambda ={\frac {d(d-1)}{2}}K_{0}

Se puede demostrar que el tensor de Weil del espacio AdS desaparece [7] . Por dimensiones , esta es una condición necesaria y suficiente para que el espacio sea conformemente plano. En la representación anterior, la métrica tiene una singularidad coordenada; como resultado, esta cuadrícula de coordenadas no cubre toda la variedad. Una propiedad similar tiene lugar para la mayoría de los otros revestimientos. Las coberturas más conocidas del espacio AdS se dan a continuación. ${\ estilo de visualización d \ geq 4}$

Coordenadas globales en AdS d+1

En aplicaciones físicas, la solución general de la ecuación ( 1 ) en la siguiente forma es más conveniente:

y^{0}={\sqrt {\rho ^{2}+R^{2))}\cdot \sin {\frac {t}{R)),

y^{d+1}={\sqrt {\rho ^{2}+R^{2))}\cdot \cos {\frac {t}{R)),

( 3 )

y^{i}=\rho \cdot {\sombrero {n_{i))},

donde expresa la parte angular de las coordenadas hiperesféricas definidas por la condición: ${\ Displaystyle {\ sombrero {n_ {i}}}}$

\sum_{i=1}^{d}(y^{i})^{2}=\rho ^{2}\Rightarrow \sum_{i=1}^{d}({\ sombrero {n_{i}}})^{2}=1

Por ejemplo, para d=3:

y^{1}=\rho \cdot \cos \theta

y^{2}=\rho \cdot \sin \theta \cos \phi

y^{3}=\rho \cdot \sin \theta \sin \phi

En términos de coordenadas de incrustación ( 3 ), la métrica espacial toma la forma: $AnuncioS_{d+1}$

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {d\rho ^{2}}{1+{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}} ))}+\rho ^{2}d\Omega _{d-1}^{2}-\left(1+{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}\right )dt^{2},

( 4 )

donde es el cuadrado del diferencial de ángulo sólido en . Por ejemplo, para d=3: $d\Omega _{d-1}^{2}$ $S^{d-1}$

d\Omega _{2}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

En términos generales, debido a , podemos escribir: $\sum \limits _{i=1}^{d}{\sombrero {n_{i}}}d{\sombrero {n_{i}}}=0$

d\Omega _{d-1}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{d}d{\hat {n_{i))}^{2}.

La ecuación ( 4 ) muestra que la métrica introducida tiene una escala de longitud característica , es decir el radio del espacio determina no solo la curvatura, sino también la escala de las distancias del espacio en consideración. Al mismo tiempo, de ( 3 ) se puede ver que topológicamente , lo que corresponde a un hiperboloide de una hoja (Fig.1). $R$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\displaystyle AdS_{d+1}\approx S^{1}\times R^{d))$

Después de cambiar las variables:

t\rightarrow tR,

{\frac {\rho }{R}}=\operatorname {tg} \chi ,

0\leqslant \chi <{\frac {\pi }{2)),

métrica ( 4 ) toma la forma:

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{2}\chi }}\left(dt^{2}-d\chi ^{2}-\sin ^{2}\chi d\Omega _{d-1}^{2}\right)

( 5 )

Aquí se cambia el signo de la métrica del espacio circundante (junto con el signo de la ecuación ( 1 )). En la métrica ( 5 ) aparece una compactación del espacio a lo largo de la coordenada radial , porque la nueva coordenada radial se ejecuta a través de un rango finito de valores: $AnuncioS_{d+1}$ $\ chi$

{\frac {\rho}{R}}\rightarrow\infty,

{\ estilo de visualización \ chi \ flecha derecha {\ frac {\ pi} {2}).}

A menudo es más conveniente introducir la coordenada radial en ( 5 ) por sustitución inversa,

{\frac {\rho}{R}}=\chi,

y considere la métrica:

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{2}\left({\frac {\rho }{R}}\right )}}\left(dt^{2}-{\frac {d\rho ^{2}}{R^{2}}}-\sin ^{2}\left({\frac {\rho }{ R}}\derecha)d\Omega _{d-1}^{2}\derecha).

( 6 )

Aquí no está relacionado con en la métrica ( 4 ). La métrica ( 6 ), bajo la condición , , es completamente equivalente a la métrica ( 5 ). Una métrica de la forma ( 6 ) se llama global [8] . En esta parametrización conviene poner y representar (localmente) como un cilindro con el eje de simetría coincidiendo con el eje del tiempo y la coordenada radial , como se muestra en la Fig.2. ${\ Displaystyle {\ frac {\ rho} {R}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ rho} {R}}}$ ${\frac {\rho }{R}}\in [0;{\frac {\pi }{2)))$ $t\in (-\infty;\infty)$ $R=1$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización \ rho \ en [0; {\ frac {\ pi} {2}}}}$

Del hecho de que la métrica ( 6 ) está inducida (se cambia el signo de la métrica del espacio ambiental), podemos establecer una conexión con las coordenadas de incrustación: ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {d, 2}}$

y^{0}=R{\frac {\cos t}{\cos({\frac {\rho}{R))))),

y^{d+1}=R{\frac {\sin t}{\cos({\frac {\rho}{R))))),

( 7 )

y^{i}=R\;\operatorname {tg} ({\frac {\rho }{R)))\cdot {\hat {n_{i))}.

En términos de coordenadas globales en el lado derecho de ( 7 ), las simetrías globales se ven en las siguientes simetrías: hay rotaciones alrededor , 1 rotación en el plano temporal y, finalmente, impulsos correspondientes a combinaciones de y con ejes espaciales . Al mismo tiempo, juntas estas transformaciones forman un grupo . $AnuncioS_{d+1}$ ${\frac{1}{2}}d(d-1)$ $y^{i},\;1\leqslant i\leqslant d$ ${\ estilo de visualización (y^{0},y^{d+1})}$ $2d$ ${\ estilo de visualización y^{0}}$ ${\ estilo de visualización y^{d+1}}$ $d$ ${\ estilo de visualización y^{i}}$ ${\ Displaystyle SO (2, d)}$

Muchas veces resulta conveniente otra formulación de la métrica global sobre , obtenida por el siguiente cambio de coordenadas en ( 6 ): $AnuncioS_{d+1}$

dk={\frac {d({\frac {\rho }{R)))}{\cos({\frac {\rho }{R))))),\;\Rightarrow k=\ int {\frac {d({\frac {\rho }{R)))}{\cos({\frac {\rho }{R))))),

lo que lleva ( 6 ) a la forma:

ds^{2}=R^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}(k)dt^{2}-dk^{2}-\operatorname {sh} ^{2} (k)d\Omega _{d-1}^{2}\right)

Además, esta vista se puede obtener directamente de las coordenadas de anidamiento ( 3 ). Esta expresión es una métrica global en forma hiperbólica, y el punto en esta métrica no es singular, y [9] $AnuncioS_{d+1}$ $k=0$ $k\in [0;\infty)$

Coordenadas de Poincaré en AdS

La consideración del espacio AdS en coordenadas globales es complicada desde el punto de vista físico, porque el tiempo en coordenadas globales es cíclico, como puede verse en ( 7 ). De hecho, cuando AdS significa la solución correspondiente de las ecuaciones de Einstein en el espacio vacío, siempre debe entenderse que la coordenada del tiempo está desenrollada , de lo contrario surgen problemas de causalidad (la existencia de ciclos de tiempo cerrados). Esta sutileza distingue el enfoque físico del espacio AdS del puramente matemático. Esta sutileza se puede evitar mediante el uso de coberturas especiales de coordenadas globales que describen solo una parte del espacio AdS. La cobertura universal de coordenadas globales más utilizada en AdS es la transición a coordenadas de Poincaré (Poincare Patch). El papel especial de estas coordenadas es que es en esta parametrización donde surge el espacio AdS en la conocida correspondencia AdS/CFT en la teoría de cuerdas.

Coordenadas de Poincaré de AdS (E) d+1 (versión euclidiana)

Hagamos una rotación de mecha para la coordenada e ingresemos las coordenadas del cono de luz en la firma euclidiana: $y^{d+1}:y^{d+1}\rightarrow iy^{d+1}$

U=y^{0}+y^{d+1},

( 8 )

V=y^{0}-y^{d+1}.

Llamemos a la versión euclidiana del lugar geométrico de los puntos: $AnuncioS_{d+1}$

y_{E}^{2}=(y^{0})^{2}-(y^{d+1})^{2}-{\overline {y))^{2}= UV-{\sobrelínea {y}}^{2}=R^{2},

( 9 )

{\overline {y}}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{d}(y^{i})^{2}.

Esto significa que para fijo se puede representar como un hiperboloide de dos hojas en el plano . A continuación, considere el siguiente cambio de coordenadas: $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$ ${\sobrelínea {y))$ ${\ estilo de visualización (y^{0},y^{d+1})}$

\zeta ^{\alpha }={\frac {y^{\alpha }}{U)),\;(\alpha =1..d),

( 10 )

{\overline {\zeta }}^{2}=\sum_{\alpha =1}^{d}(\zeta ^{\alpha })^{2}.

Tal cambio en nos permite escribir la ecuación de incrustación ( 9 ) en la forma: ${\ estilo de visualización U \ neq 0}$

y_{E}^{2}=UV-{\overline {y}}^{2}=UV-U^{2}{\overline {\zeta }}^{2}=R^{2 },

\Rightarrow V={\overline {\zeta }}^{2}U+{\frac {R^{2}}{U}}.

( 11 )

Así, es posible parametrizar todo el espacio con : $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$ ${\ estilo de visualización (U, \ zeta ^ {\ alfa})}$

dV=2U\zeta ^{\alpha }d\zeta ^{\alpha }+\zeta ^{2}dU-{\frac {R^{2}dU}{U^{2))},

dy^{\alpha }=Ud\zeta ^{\alpha }+{\overline {\zeta }}^{\alpha }dU.

( 12 )

La métrica en el espacio ambiente en términos de , teniendo en cuenta ( 9 ), se puede escribir como: ${\ estilo de visualización (U, \ zeta ^ {\ alfa})}$

ds_{\text{emb))^{2}=dUdV-(d{\overline {y)))^{2}=(dy^{0})^{2}-(dy^{d +1})^{2}-(d{\sobrelínea {y)))^{2}.

Y la métrica inducida se obtiene estándar de ( 12 ), teniendo en cuenta la conexión ( 11 ) y cambiando el signo: $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$

ds_{AdS_{d+1}^{\text{(E)}}}^{2}={\frac {R^{2}(dU)^{2}}{U^{2} ))+U^{2}d{\overline {\zeta}}^{2}.

( 13 )

Y también la métrica ( 13 ) tomará la forma:

dS^{2}={\frac {1}{(\zeta ^{0})^{2}}}(R^{2}(d\zeta ^{0})^{2}+ d{\overline {\zeta}}^{2}).

Los reemplazos posteriores y conducen a la métrica: ${\displaystyle\zeta^{i}={\frac{r^{i}}{R}}}$ ${\ estilo de visualización \ zeta ^ {0} = {\ frac {z} {R ^ {2}}}}$

dS_{\text{EPP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+d{\overline {r}}^ {2}).

( 14 )

La métrica ( 14 ) es una expresión de la métrica en coordenadas de Poincaré - el llamado Parche Euclidiano de Poincaré (EPP) - y es una cobertura universal del espacio . No es difícil establecer una conexión entre las coordenadas globales en la firma euclidiana, las coordenadas de Poincaré y las coordenadas del espacio circundante. Usando las ecuaciones ( 8 ), ( 10 ) y ( 11 ), teniendo en cuenta los cambios realizados, encontramos: $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$ $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$

y^{i}={\frac {r^{i}}{z}}R,\;(i=1..d),

y^{0}+y^{d+1}={\frac {R^{2}}{z)),

y^{0}-y^{d+1}={\frac {r^{2}}{z}}+z.

Conexión requerida:

y^{0}=R{\frac {\operatorname {ch} \tau }{\cos({\frac {\rho }{R)))))={\frac {1}{2} }\izquierda({\frac {z^{2}+r^{2}+R^{2}}{z}}\derecha),

y^{d+1}=R{\frac {\operatorname {sh} \tau }{\cos({\frac {\rho }{R))))))={\frac {1} { 2}}\izquierda({\frac {z^{2}+r^{2}-R^{2}}{z}}\derecha),

( 15 )

y^{i}=R\;\operatorname {tg} \left({\frac {\rho }{R))\right)\cdot {\hat {n_{i))}={\frac {R}{z}}r^{i}.\;(z>0)

En el tiempo euclidiano, el tiempo no es cíclico en coordenadas globales, sin embargo, estas coordenadas de Poincaré se pueden extender analíticamente a la firma lorentziana del espacio ambiental, que se muestra a continuación. Se puede ver de la primera ecuación en ( 15 ) que , y el límite corresponde al punto . Las relaciones ( 15 ) se ilustran esquemáticamente en la figura 3. $\tau=eso$ $y^{0}>0$ $z=0$ $AdS_{d+1}^{\text{(E)))$

En la firma euclidiana, las coordenadas de Poincaré, teniendo en cuenta la parte , describen todo el espacio AdS y, en este sentido, equivalen a coordenadas globales. Como se muestra a continuación, la firma lorentziana se caracteriza por un estrechamiento de la región descrita en las coordenadas de Poincaré. Esto se debe a que el tiempo en coordenadas globales es cíclico, a diferencia del tiempo euclidiano . $z<0$ ${\ estilo de visualización ^ {\ texto {(E)))}$ $\tau$

Coordenadas de Poincaré en AdS d+1

Las coordenadas de Poincaré para se definen de la misma manera que para AdS . Cambiando ligeramente la notación y escribiendo la ecuación de incrustación en la forma: $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización ^ {\ texto {(E)))}$

(y^{d+1}-y^{d})(y^{d+1}+y^{d})-\sum _{i=1}^{d-1}(y ^{i})^{2}+(y^{0})^{2}=R^{2},

( 16 )

es posible, siguiendo el razonamiento del párrafo anterior, introducir análogos de las coordenadas del cono de luz y reescribir ( 16 ) en la forma: $tu$ $V$

y_{L}^{2}=UV-g_{\mu \nu }y^{\mu }y^{\nu }=R^{2},

( 17 )

donde , y los índices oscilan sobre los valores . Introduzcamos nuevas coordenadas: $g_{\mu \nu }={\text{diag))(-1,1,..,1)$ ${\ estilo de visualización {\ mu, \ nu} = 0,1, .., d-1}$

\zeta ^{\alpha }={\frac {y^{\alpha }}{U)),\;(\alpha =0,...,d-1),

{\overline {\zeta ^{2}}}=\sum_{\alpha =1}^{d-1}(\zeta ^{\alpha })^{2}-(\zeta ^{ 0})^{2}=g_{\mu\nu}\zeta^{\mu}\zeta^{\nu}.

Además, repitiendo completamente los argumentos ( 11 )-( 14 ) y eligiendo , , llegamos a la métrica en coordenadas de Poincaré: $\zeta ^{i}={\frac {x^{i}}{R));\;(i<d)$ ${\displaystyle\zeta^{0}={\frac {x^{0}}{R}}={\frac {t}{R}}}$ $AnuncioS_{d+1}$

ds_{\text{PP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+dx^{\mu }dx_{\ mu}),

( 18 )

x^{\mu }x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\sum _{i=1}^{d-1}( x^{i})^{2}-t^{2},

{\ estilo de visualización (z> 0),}

donde now denota la hora en coordenadas de Poincaré. Además, para que no se confunda con el tiempo en coordenadas globales, este último se denotará como . Las relaciones entre las coordenadas globales de incrustación y las coordenadas de Poincaré para , similares a las relaciones ( 15 ), se escriben como: $t$ $t$ $\tau$ $AnuncioS_{d+1}$

y^{0}=R{\frac {\sin \tau }{\cos({\frac {\rho }{R)))))={\frac {R}{z))x^ {0}={\frac{R}{z}}t,

y^{i<d}=R\;\operatorname {tg} ({\frac {\rho }{R)))\cdot {\hat {n_{i))}={\frac {R {z}}x^{i},

( 19 )

y^{d}=R\;\operatorname {tg} ({\frac {\rho }{R)))\cdot {\hat {n_{d))}={\frac {z}{ 2}}\left(1-{\frac {R^{2}-x^{\mu }x_{\mu }}{z^{2}}}\right),

y^{d+1}=R{\frac {\cos \tau }{\cos({\frac {\rho }{R)))))={\frac {z}{2)) \left(1+{\frac {R^{2}+x^{\mu }x_{\mu }}{z^{2}}}\right).

Estas ecuaciones se resuelven relativamente en términos de , en las que conviene hacer la sustitución ( ): ${\ estilo de visualización (t, z, x ^ {i})}$ ${\ estilo de visualización (\ tau, \ rho, {\ sombrero {n_ {i))})}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ rho} {R}} \ flecha derecha \ rho}$

t=R{\frac {\sin \tau }{{\hat {n_{d))}\sin \rho -\cos \tau ))

z=R{\frac {\cos \rho }{{\hat {n_{d))}\sin \rho -\cos \tau )),

( 20 )

x^{i}=R{\frac {{\hat {n_{i))}\sin \rho }({\hat {n_{d))}\sin \rho -\cos \tau } }.

De estas relaciones se deduce que en , el tiempo global ahora toma valores en un intervalo finito (ver Fig.4). $t\rightarrow \pm \infty$ $\tau$

Es importante notar que en la firma euclidiana, las coordenadas de Poincaré cubren todo el espacio AdS así como las coordenadas globales (esto se puede ver por la presencia de funciones hiperbólicas en las relaciones ( 15 ). Sin embargo, en la firma lorentziana, la Las coordenadas de Poincaré cubren solo un pequeño subdominio de todo el AdS, delimitado por el rombo causal que envuelve el cilindro del AdS (ver Fig. 4). En términos generales, las coordenadas globales para se transforman (isométricamente) de acuerdo con las representaciones del subgrupo del AdS. , y en las coordenadas de Poincaré ( 18 ) el grupo de Poincaré -dimensional y las dilataciones (estiramiento de todas las coordenadas simultáneamente en una cantidad) se vuelven evidentes . ${\ estilo de visualización ^ {\ texto {(E)))}$ $AnuncioS_{d+1}$ $SO(2)\times SO(d)$ ${\ Displaystyle SO (2, d)}$ $d$

Transformaciones conformes especiales en coordenadas de Poincaré

Además de las dilataciones , que son una simetría obvia de la métrica ( 18 ), hay transformaciones de coordenadas infinitesimales menos obvias en el álgebra de isometría ( 18 ): $(x^{\mu },z)\to (\lambda x^{\mu },\lambda z)$

x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+(x^{\nu }x_{\nu }-z^{2})b^{\ mu }-2(b^{\nu }x_{\nu })x^{\mu },

( 21 )

z\to z^{\prime }=z-2(b^{\nu }x_{\nu })z.

Aquí hay un pequeño vector que se encuentra en el subespacio de Poincaré (es decir, la coordenada del vector en la dirección es igual a cero: ) en las coordenadas de Poincaré. La isometría de esta transformación se puede verificar por sustitución directa. La parte de Poincaré de la transformación ( 21 ) coincide con la definición de una transformación conforme especial sobre una variedad conforme de dimensión , pero las transformaciones asociadas a la coordenada , así como el número de componentes del vector, no permiten definirlas como conformes especiales transformaciones en el parche de Poincaré . El parche dado para es, por lo tanto, una variedad de Riemann con un álgebra de isometría ligeramente más compleja que el espacio de Minkowski. ${\ Displaystyle b ^ {\ mu}}$ $b$ $z$ ${\ estilo de visualización b_ {z} = 0}$ $AnuncioS_{d+1}$ $d$ $z$ ${\ Displaystyle b ^ {\ mu}}$ $AnuncioS_{d+1}$ $AnuncioS_{d+1}$

El límite conforme del espacio AdS

La cuestión de los límites del espacio AdS requiere una discusión por separado. El espacio AdS no es una variedad con frontera en el sentido estándar (cuando las vecindades de la frontera son difeomorfas a las vecindades de puntos en la frontera de algún semiespacio euclidiano). El límite mencionado a continuación es el llamado límite conforme obtenido por la compactación conforme del espacio-tiempo.

En la construcción de compactación conforme, la variedad en consideración se asigna al interior de una variedad compacta con límite, y luego el límite de esta aplicación se denomina límite conforme de la variedad original . En el plan aplicado , la métrica se multiplica por un factor común de modo que en la nueva métrica la distancia desde cualquier punto hasta todos los puntos límite es finita. En el espacio plano, el límite conforme se reduce a solo un punto. En el caso de los espacios hiperbólicos, a los que también pertenece AdS, el límite conforme no es trivial y contiene información importante. ${\ estilo de visualización (N, g)}$ $(M, g)$ ${\ estilo de visualización \ parcial \ Phi (N, g)}$ $norte$

Límite de AdS en coordenadas globales

Volvamos a la ecuación ( 17 ) e introduzcamos nuevas coordenadas:

y^{\mu }={\widetilde {y^{\mu ))}b,

U={\widetilde {U}}b,

V={\widetilde {V}}b.

Pasando al límite , obtenemos la ecuación de incrustación en la frontera en : $b\rightarrow\infty$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$

{\widetilde {U}}{\widetilde {V}}-g_{\mu \nu }{\widetilde {y^{\mu }}}{\widetilde {y^{\nu }}}= 0.

Esta ecuación es invariante bajo la escala , donde es cualquier número real positivo. Por lo tanto, la variedad límite debe considerarse como clases de equivalencia conforme (proyectiva): ${\ estilo de visualización b \ flecha derecha lb}$ $yo$

UV-g_{\mu \nu }y^{\mu }y^{\nu }=0,

( 22 )

{\ estilo de visualización (U, V, y) \ sim l (U, V, y).}

Es fácil ver cuál de las clases de equivalencia se puede elegir mediante el reescalado ( 22 ):

(y^{0})^{2}+(y^{d+1})^{2}=\sum_{i=1}^{d-1}(y^{i}) ^{2}+(y^{d})^{2}=1.

Como resultado, el límite del espacio en coordenadas globales es una variedad conforme con la topología . La dimensión de la frontera conforme es uno menos que la dimensión de la variedad original, lo cual es similar al caso de la frontera usual de una variedad con frontera. $AnuncioS_{d+1}$ $S^{1}\veces S^{d-1}$

Límite de AdS en coordenadas de Poincaré

El razonamiento sobre el límite de AdS en las coordenadas de Poincaré es algo complicado por el hecho de que las coordenadas de Poincaré describen solo una parte del espacio de AdS, por lo que el límite en las coordenadas de Poincaré tiene regiones adicionales correspondientes al haz [10] de coordenadas globales.

Horizonte de Poincaré

Las ecuaciones ( 17 ) y ( 19 ) muestran que la parametrización en coordenadas de Poincaré en realidad divide el espacio AdS en dos mitades iguales: ${\ estilo de visualización z> 0}$

{\frac {y^{d+1}-y^{d}}{R^{2}}}={\frac {1}{z}}={\frac {U}{R^ {2}}}.

( 23 )

La ecuación ( 23 ) se interpreta de la siguiente manera. Al elegir una parametrización , solo se describe la mitad del hiperboloide de la incrustación , cuyas coordenadas están sujetas a la condición . Por el contrario, la parametrización define la condición en coordenadas globales . Así, como un hiperboloide incrustado en ( 3 ), es diseccionado por un hiperplano , cada mitad del cual se describe en coordenadas de Poincaré. Además, de la ecuación ( 23 ) se deduce que el hiperplano es la parte de la frontera AdS en coordenadas de Poincaré que no es singular en coordenadas globales y corresponde al límite en coordenadas de Poincaré. Este límite se denomina horizonte de Poincaré. ${\ estilo de visualización z> 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$ ${\displaystyle y^{d+1}>y^{d))$ $z<0$ ${\displaystyle y^{d+1}<y^{d))$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {2, d}}$ ${\ estilo de visualización y^{d+1}=y^{d))$ ${\ estilo de visualización y^{d+1}=y^{d))$ $z\rightarrow\infty$

Una característica importante del horizonte de Poincaré es que para , de la conexión con las coordenadas globales ( 20 ) también obtenemos una ecuación para el hiperplano secante en coordenadas globales de la forma: $z\rightarrow\infty$ $x^{\mu <d},t\rightarrow \infty$

\cos \tau ={\hat {n_{d))}\sin \rho .

( 24 )

Pasando ( 25 ) al límite , es decir considerando la frontera global AdS ( 6 ), es claro que existen soluciones de la forma: ${\ estilo de visualización \ rho \ flecha derecha {\ frac {\ pi }{2}}}$

\cos \tau ={\sombrero {n_{d))}.

( 25 )

La ecuación ( 25 ) implica que el horizonte de Poincaré incluye no solo partes de la frontera global (at ), sino también subvariedades de la mayor parte de la AdS global. Por otro lado, se deduce de ( 25 ) que la viga de parche de Poincaré contiene subvariedades de la frontera conforme global, ya que la ecuación ( 25 ) también se puede satisfacer en el caso de . ${\ estilo de visualización \ rho \ flecha derecha {\ frac {\ pi }{2}}}$ $0<z<\infty$

Sin embargo, el horizonte de Poincaré puede ser considerado en parte como una variedad conforme, ya que en el límite se puede obtener reparametrizando la métrica ( 18 ) reemplazando , la siguiente forma de la métrica: $0<z<\infty$ ${\frac{1}{z}}=e^{r}$

ds_{\text{PP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+dx^{\mu }dx_{\ mu })=R^{2}(dr^{2}+e^{2r}dx^{\mu }dx_{\mu }).

( 26 )

Aquellos. el área del horizonte corresponde y el horizonte se reduce a . Debe recordarse, sin embargo, que el horizonte de Poincaré es una característica singular solo en las coordenadas de Poincaré, es decir todavía incluye áreas de la masa global y, por lo tanto, no puede considerarse en términos de un límite conforme [11] . $z\rightarrow\infty$ $r\rightarrow -\infty$ ${\displaystyle M^{d}\veces R^{1))$

Límite conforme de AdS en coordenadas de Poincaré

La métrica ( 18 ) tiene una singularidad. Al aspirar , se sigue de las relaciones ( 19 ) (que es solo una parte del límite global), y la métrica ( 26 ) en se transforma a la forma: ${\ estilo de visualización z \ flecha derecha 0}$ $y^{\mu }\rightarrow\infty$ $r\rightarrow +\infty$

ds_{\text{PP}}^{2}=e^{2r}dx^{\mu }dx_{\mu }.

( 27 )

La presencia de un factor conforme singular significa que la métrica ( 27 ) es conformemente plana. Por lo tanto, la estructura local del límite del espacio en las coordenadas de Poincaré es visible: topológicamente, se trata de una variedad conforme de Minkowski de dimensión . $AnuncioS_{d+1}$ ${\ Displaystyle M ^ {d}}$ $d$

Tiempo finito de propagación de la luz hasta el límite en AdS

El espacio AdS tiene una propiedad especial que afecta fuertemente la física en este espacio, al menos a distancias macroscópicas. Considere el movimiento de un haz de luz en coordenadas de Poincaré, descrito por vectores similares a la luz en términos de métrica ( 26 ) y encuentre el tiempo de propagación del haz de luz desde el punto hasta el límite . La métrica ( 26 ) a constantes para vectores similares a la luz ( ) tiene la forma: $z$ $z_{0}$ ${\ estilo de visualización z \ a 0}$ $x_{i},(i=1...d-1)$ $ds^{2}=0$

ds^{2}=R^{2}(dr^{2}-e^{2r}dt^{2})=0.

De esto se puede ver que Poincaré es el tiempo de propagación de la señal de luz a lo largo de la fuente ubicada en el punto hasta el límite , es decir a lo largo de la coordenada hasta el límite , resulta ser finito: $r$ $r_{0}$ $r\to\infty$ $z$ ${\ estilo de visualización z \ a 0}$

t=\int {dt}=R^{2}\int \limits _{r_{0}=-\ln z_{0}}^{\infty }e^{-r}dr=e^ {-r_{0}}<\infty .

Una partícula masiva, al moverse a lo largo de una geodésica, no alcanzará el límite y en un tiempo finito volverá al punto desde el que comenzó a moverse. Como resultado, las partículas libres en el espacio AdS están, por así decirlo, en una caja gravitacional .

Conexión de haz de contorno para dinámica en AdS

La propiedad anterior está estrechamente relacionada con la ausencia de hiperbolicidad global en el espacio AdS: para describir la evolución de cualquier sistema físico en el espacio AdS, además de las condiciones iniciales en la superficie de Cauchy, resulta que es necesario establecer condiciones de contorno en todo el contorno conforme. Esto es consecuencia del hecho de que este límite contiene una dirección temporal. De esto se deriva una conclusión importante: cuando se especifica la dinámica en el haz del espacio AdS, la dinámica en su límite conforme también se especifica de forma única, y viceversa. En cierto sentido, es esta propiedad la que subyace a la conocida correspondencia holográfica en la teoría de cuerdas (correspondencia AdS/CFT). En términos generales, la gravedad en el conjunto de AdS define de manera única una teoría de campo conforme en su límite. Como resultado, la dinámica de, digamos, una partícula en el límite admite dos descripciones equivalentes: campo gravitacional y cuántico.

Intuitivamente, la conexión holográfica inequívoca de la dinámica de partículas en el límite de algún espacio y en su volumen (en su conjunto ) puede parecer paradójico, ya que el límite tiene una dimensión más pequeña, lo que, al parecer, debería conducir a una dinámica más limitada. Sin embargo, estas intuiciones resultan incorrectas en el caso del espacio AdS. En este sentido, es útil mencionar la relación de área y volumen en el espacio AdS. En un espacio plano, la relación del área de alguna región del espacio con un tamaño lineal a su volumen se comporta como . En el espacio de radio de AdS , esta relación se comporta de manera diferente: se puede demostrar que para un tamaño suficientemente grande se comporta como , es decir, no depende del tamaño lineal (ver, por ejemplo, [12] ). Por lo tanto, tendiendo al infinito, queda claro que el límite de AdS puede acomodar tantos grados de libertad físicos (por ejemplo, partículas en forma de paquetes de ondas) como el volumen total de este espacio. $S$ $L$ $V$ ${\ estilo de visualización S/V\sim 1/L}$ $R$ $L$ $S/V\sim 1/R$ $L$ $L$

Diagrama de Penrose

La estructura de los límites se ilustra convenientemente usando el diagrama de Penrose. Para construir este diagrama en coordenadas ( 7 ), debe recordar que el tiempo global es cíclico, es decir es posible construir sólo el dominio causal , por ejemplo . Hagamos un cambio en la métrica ( 6 ). Está claro de ( 20 ) que es más conveniente estudiar la sección local de un cilindro en un plano para el cual . El proceso de compactación de las partes temporales y espaciales , descrito anteriormente para definir la métrica en coordenadas globales, conduce a la aparición de un factor conforme y, por lo tanto, conserva las curvas similares a las de la luz para las cuales . Por lo tanto, todas las líneas rectas en el plano del diagrama de Penrose, que forman un ángulo con respecto a o , corresponden a señales luminosas. En tal parametrización, el diagrama de Penrose del espacio es una proyección simétrica plana del cilindro global que se muestra en la Fig. 4, y cada punto del diagrama es en realidad una esfera . Este diagrama se muestra en la Fig.5 ${\ estilo de visualización \ tau \ en [- \ pi, \ pi]}$ ${\ estilo de visualización \ rho / R \ a \ rho \ en (0, \ pi / 2]}$ ${\ estilo de visualización (\ tau, \ rho)}$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\sombrero {n}}_{d}\en [-1,1]$ $ds^{2}=0$ ${\ estilo de visualización (\ tau, \ rho)}$ $\pi /4$ $\rho$ $\tau$ $AnuncioS_{d+1}$ $AnuncioS_{d+1}$ $S^{d-1}$

AdS como solución de Schwarzschild para un agujero negro cargado

Un ejemplo bien conocido de la aparición del espacio AdS en la gravedad es la solución para la métrica cerca del horizonte de un agujero negro de Reisner-Nordström con carga extrema. Vista general de la métrica esféricamente simétrica para un agujero negro:

ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{f(r)))+r^{2}d\Omega ^{2} ,

( 28 )

donde es el cuadrado del ángulo sólido y es la función para resolver un agujero negro de Reissner-Nordström estático, esféricamente simétrico y cargado en un espacio de cuatro dimensiones: $d\Omega ^{2}$ $f(r)$

f(r)=1-{\frac {r_{0}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}.

( 29 )

La generalización de ( 29 ) al caso de las mediciones es el siguiente reemplazo [13] : $D$

f(r)=1-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{D-3}+\left({\frac {r_{Q}^{2 }}{r^{2}}}\right)^{D-3}.

( 30 )

Aquí , es la masa del agujero negro y es la carga del agujero negro en metros. Las raíces de la ecuación son los puntos de singularidad de la métrica ( 28 ). Si , es decir el agujero negro no está cargado, entonces esta ecuación tiene una raíz y la métrica tiene un horizonte de eventos en el radio de Schwarzschild . En el caso de la solución de Reissner-Nordström, hay dos raíces y : $r_{0}\aproximadamente 2M$ $METRO$ $r_{Q}$ ${\ estilo de visualización f (r) = 0}$ ${\ estilo de visualización r_ {Q} = 0}$ $r_{0}$ ${\ estilo de visualización r_ {+))$ ${\ estilo de visualización r_ {-}}$

r_{\pm }={\frac {r_{0}\pm {\sqrt {r_{0}^{2}-4r_{Q}^{2)))){2)).

Considere el caso cuando la métrica ( 28 ) tiene solo un punto de singularidad y entra en la métrica del llamado agujero negro extremo de Reissner-Nordström: $r_{+}=r_{-}={\frac {r_{0}}{2}}$

f(r)=\left(1-{\frac {r_{0}}{2r}}\right)^{2}.

Uno puede expandir la función cerca de esta singularidad introduciendo: $f(r)$ $r={\frac{r_{0}}{2}}$

r={\frac {r_{0}}{2}}+u,\qquad u\ll r_{0},\qquad u={\frac {r_{Q}^{2}}{z }}.

( 31 )

Sustituyendo la expansión en ( 28 ) y manteniendo el orden principal, se obtiene la siguiente métrica cerca del agujero negro:

ds^{2}={\frac {r_{Q}^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}-dt^{2})+r^{2}d \Omega ^{2}.

( 32 )

La métrica ( 32 ) tiene una estructura topológica , donde la parte AdS está escrita en coordenadas de Poincaré. Esta métrica se conoce como la métrica de Bertotti-Robinson. El horizonte de Poincaré en esta métrica es , como se discutió anteriormente, que corresponde al horizonte de eventos de un agujero negro extremo y se sigue de ( 31 ) en . Por el contrario, el límite conforme ( ) corresponde a una región del espacio infinitamente distante del agujero negro . $AdS_{2}\veces S^{2}$ $z\a\infty$ ${\ estilo de visualización u \ a 0}$ ${\displaystyle anuncios_{2))$ ${\ estilo de visualización z \ a +0}$ $u\to +\infty$

Termodinámica de los agujeros negros en el espacio AdS

Como saben, los agujeros negros irradian, por lo que se les puede asignar una cierta temperatura, llamada temperatura de Hawking. Esta radiación es un efecto cuántico cerca del horizonte de eventos de los agujeros negros. En pocas palabras, este efecto se puede describir de la siguiente manera. Al considerar los campos cuánticos en la región del horizonte de un agujero negro esféricamente simétrico (contra una geometría curva), los operadores de campo pueden descomponerse efectivamente (ver, por ejemplo, [14] ) en modos que van más allá del horizonte y modos que salen del horizonte. región del horizonte y se emiten al espacio exterior. Así, se resalta la dirección radial sobre un fondo singular curvo esféricamente simétrico. La interpretación física de este efecto es que los campos gravitatorios cerca del horizonte de un agujero negro, considerado como fondo para los campos de materia, dan lugar a la creación de pares de partículas, una de las cuales entra en el agujero negro y la otra se emite como una partícula física en la superficie de la masa. Esta radiación tiene un espectro térmico y lleva el nombre de radiación de Hawking [15] . Su temperatura se puede calcular en un caso bastante general para soluciones de tipo Schwarzschild esféricamente simétricas:

ds^{2}=-g_{tt}(r)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{D-2}^{2 }.

En este caso, como se muestra, por ejemplo, en [16] , la temperatura de Hawking toma la forma:

{\ Displaystyle T_ {H} = \ lim _ {r \ a r_ {s}} {\ frac {\ parcial _ {r} {\ sqrt {g_ {tt}}}} {2 \ pi {\ sqrt {g_ {rr}}}}},}

( 33 )

que en notación ( 28 ) se puede reescribir como:

T_{H}=\lim _{r\to r_{s}}{\frac {\parcial _{r}{\sqrt {f(r)))}{2\pi {\sqrt {f ^{-1}(r)))))={\frac {f^{\prime }(r_{s})}{4\pi )),

( 34 )

donde es el punto singular . Considere un agujero negro estático sin carga en el fondo, que es una solución singular de las ecuaciones de Einstein con una constante cosmológica negativa (usando ( 4 ) y ( 30 )): $r_{s}$ ${\ estilo de visualización f (r_ {s}) = 0}$ $AdS_{5}$

ds_{AdS_{5}}^{2}=-\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{0}^{ 2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{ 0}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{3}^{2}.

( 35 )

Aquí hay un parámetro relacionado con la masa del agujero negro M y la constante de cinco dimensiones de Newton por la relación: $r_{0}$ ${\ estilo de visualización G_ {5}}$

r_{0}=2MG_{5}.

El factor singular, como en el caso ( 29 ), es igual a:

f(r)=\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2 }}}\Correcto).

El punto singular (horizonte) es la solución de la ecuación : ${\ estilo de visualización f (r_ {s}) = 0}$

r_{s}^{2}={\frac {R^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {4r_{0}^{2}}{R ^{2}}}}}-1\derecha)>0.

( 36 )

Como la escala es fija, tiene dos asintóticas: $R$ $r_{s}$

r_{0}\ll R\Rightarrow r_{s}\sim r_{0},

r_{0}\gg R\Rightarrow r_{s}\sim {\sqrt {r_{0}R)).

El radio del horizonte está limitado por el radio de Schwarzschild: $r_{s}$

{\frac {r_{s}^{2}}{r_{0}^{2}}}={\frac {2}{{\sqrt {1+{\frac {4r_{0}^ {2}}{R^{2}}}}}}+1}}\leq 1.

( 37 )

El comportamiento asintótico es una característica cualitativa de la masividad de un agujero negro en el espacio AdS. Un agujero negro por lo que se llama pequeño . Para tales agujeros negros, la relación ( 37 ) tiende a la unidad. Por el contrario, los agujeros negros para los que se satisface se denominan grandes . Para ellos, de ( 37 ) obtenemos . $r_{s}$ $r_{0}\ll R$ $r_{o}\gg R$ $r_{s}\gg R$

La sustitución de las expresiones ( 36 ) y ( 37 ) en ( 34 ) permite obtener la temperatura de Hawking de un agujero negro contra el fondo: $AdS_{5}$

T_{H}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {2r}{R^{2}}}+2{\frac {r_{0}^{2 }}{r^{3}}}\right){\bigg |}_{r=r_{s}}={\frac {R^{2}+2r_{s}^{2}}{2\ pi r_{s}R^{2}}}.

( 38 )

Esta temperatura tiene dos asintóticas correspondientes a un agujero negro grande y pequeño:

r_{s}\ll R\Rightarrow T_{H}\approx {\frac {1}{2\pi r_{s))},

r_{s}\gg R\Rightarrow T_{H}\approx {\frac {r_{s}}{\pi R^{2}}}.

Se puede observar que la temperatura de Hawking aumenta tanto en el límite de una gran masa como en el límite de una pequeña masa de agujero negro. Así, el espacio apoya [17] la existencia de agujeros negros relativamente estables con radio . Al mismo tiempo, la temperatura de Hawking para los agujeros negros pequeños se comporta como la de los agujeros negros en el espacio de Minkowski (cuanto más pequeños, más calientes). Esto significa que para los agujeros negros pequeños se puede despreciar la curvatura espacial R. Los resultados anteriores para la termodinámica de los agujeros negros en se pueden generalizar a . Para hacer esto, necesita obtener la temperatura de Hawking ( 38 ) en el caso general. Esta temperatura se extrae del análisis de la denominada singularidad cónica en la métrica euclidiana cerca del horizonte (ver, por ejemplo, [18] ). Después de la euclidización (haciendo una rotación de Wick ) , la temperatura de radiación se denomina período de cierre del tiempo euclidiano en la teoría cuántica de campos a una temperatura finita. $AdS_{5}$ $r_{s}\aprox. R$ $AdS_{5}$ $AdS_{5}$ $AnuncioS_{d+1}$ $t\to-it_{E}$

Considere un espacio en coordenadas globales con una singularidad incrustada como un agujero negro: $AnuncioS_{d+1}$

ds^{2}=-\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d- 2}}}\right)dt^{2}+\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^ {d-2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2},

( 39 )

donde es la constante de Newton, es la masa de la singularidad anidada y es el radio de Schwarzschild para la singularidad anidada: ${\ estilo de visualización G_ {N}}$ $METRO$ ${\ estilo de visualización w_ {d}}$

w_{d}={\frac {8\pi G_{N}^{(d+1)}}{(d-2)\Omega _{d-1}}}.

( 40 )

Además, al definir el horizonte exterior como la solución más grande de la ecuación para un factor singular, ${\ estilo de visualización r_ {+))$

1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d-2}}}=0,

( 41 )

es posible realizar la rotación de Wick y simultáneamente considerar la métrica cerca , pasando a la coordenada radial de la vista en : ${\ estilo de visualización r_ {+))$ $r=r_{+}+\rho^{2}$ ${\ estilo de visualización \ rho \ a 0}$

ds_{+}^{2}\simeq {\frac {4}{\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2) w_{d}M}{r_{+}^{d-1}}}\right)}}\left(d\rho ^{2}+\rho ^{2}{\frac {dt^{2} }{4}}\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_{d}M}{r_{+}^{d- 1}}}\right)^{2}\right)+r_{+}^{2}d\Omega _{d-1}^{2}.

( 42 )

Al considerar la teoría de campo a una temperatura finita en este contexto, se debe suponer que el tiempo euclidiano está cerrado con un período , luego la integral de trayectoria que define la teoría se reduce a la función de partición del sistema con una temperatura finita : $\beta$ $T={\frac {1}{\beta}}$

Z[\beta ]=Tr[e^{-\beta {\hat {H))}]=\int _{\phi ({\overline {x)),t_{E})=\phi ({\overline {x)),t_{E}+\beta )}D\phi \;e^{-S_{E}[\phi ]}.

La misma definición de temperatura también se usa en el análisis de la métrica cerca de un agujero negro. El primer término en ( 42 ) al final del tiempo euclidiano , donde ${\ estilo de visualización \ tau \ en [0.2 \ pi - \ Delta]}$

\tau ={\frac {t}{2}}\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_{d} M}{r_{+}^{d-1}}}\derecha),

( 43 )

define la métrica de una variedad bidimensional en coordenadas polares que tiene una singularidad cónica [19] para en el punto . Por lo tanto, encontramos que el período del tiempo euclidiano es , ya que, de lo contrario, la presencia de una singularidad cónica en el horizonte conduce a una pérdida de suavidad de la métrica. Por lo tanto, uno puede definir usando ( 43 ) como: ${\ estilo de visualización (\ rho, \ tau)}$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ neq 0}$ ${\ estilo de visualización \ rho = 0}$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {\ tau} = 2 \ pi}$ ${\ estilo de visualización r_ {+))$ ${\ estilo de visualización \ beta _ {t} = \ beta}$

\beta =\beta _{t}={\frac {4\pi}({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_ {d}M}{r_{+}^{d-1))))}={\frac {4\pi}({\frac {d\cdot r_{+}}{R^{2}}} +{\frac{d-2}{r_{+}}}}}.

Entonces, la temperatura del agujero negro anidado es: $AnuncioS_{d+1}$

T={\frac {1}{\beta }}={\frac {d\cdot r_{+}^{2}+(d-2)R^{2}}{4\pi R^ {2}r_{+}}}.

( 44 )

Este resultado se generaliza ( 38 ).

Un agujero negro es estable si su calor específico es positivo, es decir, cuando el sistema es un agujero negro, el campo se vuelve equilibrio. La ecuación ( 44 ) parametriza alguna curva , cuyo mínimo se obtiene de la condición: $C_{B}H=\M parcial/\T parcial$ ${\ estilo de visualización T (M)}$

{\frac {\T parcial}{\M parcial}}={\frac {dT}{dr_{+}}}{\frac {dr_{+}}{dM}}=0.

Sin embargo, la diferenciación ( 40 ) da:

{\frac {dr_{+}}{dM}}\left({\frac {d\cdot r_{+}^{d-1}}{R^{2}}}+(d-2 )r_{+}^{d-3}\right)=w_{d},

de donde se sigue que , es decir el mínimo se determina a partir de : ${dr_{+}}/{dM}>0$ ${\ estilo de visualización T (M)}$ $dT/dr_{+}=0$

r_{+}^{\text{min}}=R{\sqrt {\frac {d-2}{d}}},

lo que conduce a la expresión para la temperatura mínima:

T_{\text{min}}={\frac {d\cdot r_{+}}{2\pi R}}={\frac {\sqrt {d(d-2))){2\ piR}}.

Los agujeros negros de baja masa cuya temperatura está por encima del mínimo resultan ser termodinámicamente inestables (como los agujeros negros en el espacio de Minkowski). A medida que la masa del agujero negro aumenta por encima de cierto valor crítico, para el cual la temperatura cae al mínimo, el agujero negro se vuelve termodinámicamente estable. Por lo tanto, el espacio es capaz de soportar la existencia de agujeros negros anidados estables. $AnuncioS_{d+1}$

Transición a las coordenadas de Poincaré

En el caso de agujeros negros incrustados asintóticamente y descritos por la métrica ( 35 ), podemos considerar la transición a las coordenadas de Poincaré y obtener un análogo de ( 32 ). Esta transición significará la consideración de solo una parte de lo global y estará dictada por consideraciones físicas. $AdS_{5}$ $AdS_{5}$

La transición a las coordenadas de Poincaré para el caso general con un agujero negro incrustado se describe en [20] . En el límite , la métrica ( 39 ) en la firma euclidiana toma la forma: $AnuncioS_{d+1}$ $r\gg R$

ds^{2}\simeq \left({\frac {r}{R}}dt\right)^{2}+\left({\frac {R}{r}}dr\right)^ {2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2}.

Esto muestra que cuando se introduce la temperatura, el tiempo euclidiano debe plegarse en un círculo de radio (para un fijo ), y la esfera bidimensional en el último término tiene un radio . En este caso, en el límite, obtenemos . Dado que el límite corresponde al límite conforme en el que vive la teoría del campo conforme (CFT) , el factor de escala general después de tomar el límite se puede descartar (ya que solo las escalas relativas tienen sentido) y la topología del límite conforme se convierte en . Sin embargo, al igual que después de pasar a las coordenadas de Poincaré en , necesitamos obtener un límite conforme con la topología , ya que estamos tratando de obtener CFT a una temperatura finita en un espacio plano, y no en una esfera. Esto significa que entonces necesitamos considerar el límite infinito de la relación , lo que nos permite despreciar la topología de la parte espacial, ${\ estilo de visualización \ rho _ {1} = {\ frac {r} {RT}}}$ $r$ $(d-1)$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {2} = r}$ $r\to\infty$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {1} \ sim \ rho _ {2} \ sim r}$ $r\to\infty$ $r$ $S^{d-1}\veces S^{1}$ $AnuncioS_{d+1}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d-1}\veces S^{1))$ ${\ estilo de visualización \ rho _ {2}/\ rho _ {1}}$

{\frac {\rho_{2}}{\rho_{1}}}=RT\to\infty .

Por lo tanto, el límite deseado se alcanza en , lo que solo es posible en . En este límite, es necesario reescalar las coordenadas para que el término quede finito en . Dado que , el cambio de escala deseado se ve así: $T\a\infty$ $M\a\infty$ $r^{2}dt^{2}$ $M\a\infty$ ${\displaystyle M\sim r^{d))$

r=\left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2}}}\right)^{1/d}\rho ,

( 45 )

t=\left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2))}\right)^{-1/d}\tau .

( 46 )

La métrica ( 39 ) después de la sustitución ( 45 ), ( 46 ), así como la euclidianización en el límite , respectivamente, toma la forma: $M\a\infty$

ds^{2}=\left({\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}-{\frac {R^{d-2}}{\rho ^{d -2}}}\right)d\tau ^{2}+\left({\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}-{\frac {R^{d-2} }{\rho ^{d-2}}}\right)^{-1}d\rho ^{2}+\rho ^{2}\sum \limits _{i=1}^{d-1} dx_{i}^{2},

( 47 )

donde _ Para encontrar el período , se puede notar que en el límite de la gran ecuación ( 41 ) se reduce a la forma: ${\displaystyle dx_{i}=(w_{d}M/R^{d-2})^{2}d\Omega _{i))$ $\tau$ $METRO$

{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d-2}}}=0\;\Rightarrow \; r_{+}=(w_{d}MR^{2})^{1/d}.

De donde, en el mismo límite de grande , de ( 44 ) obtenemos: $METRO$

\beta ={\frac {4\pi R^{2}}{d(w_{d}MR^{2})^{1/d}}}.

Además, de ( 46 ) se sigue que el período de tiempo euclidiano en ( 47 ) se expresa como:

\beta _{1}=\beta \left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2))}\right)^{1/d}={\frac {4 \piR}{d}}.

Por lo tanto, la consideración de la CFT en el límite conforme del espacio con un agujero negro incrustado en el límite de la masa infinita del agujero negro , conduce a una descripción de la CFT a una temperatura finita, que depende linealmente del número de dimensiones espaciales . $AnuncioS_{d+1}$ $M\a\infty$ $d$

en , es decir considerando un agujero negro en el espacio , la métrica ( 47 ) toma la forma: $re=4$ $AdS_{5}$

ds^{2}={\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}\left[\left(1-{\frac {R^{4}}{\rho ^ {4}}}\right)d\tau ^{2}+R^{2}{\overline {x}}^{2}\right]+{\frac {R^{2}d\rho ^{ 2}}{\rho ^{2}(1-{\frac {R^{4}}{\rho ^{4}}})}}.

Después de sustituciones , , , obtenemos para : ${\ estilo de visualización \ rho / R = z_ {0}/z}$ ${\ estilo de visualización \ tau = -itR/z_{0))$ ${\overline {x}}={\overline {y}}/z_{0}$ ${\ estilo de visualización z> 0}$

ds^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}\left[-\left(1-{\frac {z^{4}}{z_{0 }^{4}}}\right)dt^{2}+{\overline {y}}^{2}+\left(1-{\frac {z^{4}}{z_{0}^{ 4}}}\derecho)^{-1}dz^{2}\derecho].

( 48 )

La métrica ( 48 ) describe el espacio con un agujero negro incrustado en las coordenadas de Poincaré (a veces esta métrica se denomina agujero negro plano ). Más precisamente, esta métrica describe la parte AdS del espacio cerca de las denominadas branas D3 no extremas. La métrica ( 48 ) tiene una singularidad en el punto , este punto actúa como un análogo del radio de Schwarzschild para un agujero negro incrustado en el espacio de Minkowski (al pasar por este punto, la firma métrica cambia - tiempo y espacio en la dirección radial cambiar de lugar ). Debe enfatizarse una vez más que esta transición se realiza en el límite (¡dictado por consideraciones físicas!), cuando la ecuación ( 40 ) tiene una solución única, mientras que en el límite conforme , que tiene la topología , se puede determinar la CFT en una temperatura finita igual a $AdS_{5}$ $z=z_{0}$ $M\a\infty$ ${\ estilo de visualización z \ a 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} ^ {4,1}}$

T={\frac {1}{\pi z_{0}}}.

Debido al límite utilizado , esta es la temperatura de un gran agujero negro en (que es más grande cuanto más caliente, en contraste con un pequeño agujero negro, cuya termodinámica es análoga a la de un agujero negro en el espacio plano). Los pequeños agujeros negros desaparecen por completo en la transición a la métrica ( 48 ). $M\a\infty$ $AdS_{5}$ $AdS_{5}$

AdS en teoría de cuerdas

El espacio comenzó a jugar un papel muy importante en la teoría de cuerdas y campos relacionados después del advenimiento de la hipótesis de correspondencia AdS/CFT en 1997. Este espacio surge asintóticamente cerca de una pila de un gran número de D3-branas en supergravedad de diez dimensiones tipo IIB, que a su vez es una aproximación de baja energía a la teoría de supercuerdas tipo IIB. La solución correspondiente para la métrica creada por una pila de piezas de D3-branas es la siguiente: $AdS_{5}$ $norte$

ds^{2}=f(r)dx^{\beta }dx_{\beta }+h(r)(dr^{2}+r^{2}d\Omega _{5}^{ 2}),

( 49 )

dx^{\beta }dx_{\beta }=-dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{3}(dx^{i})^{2},

r^{2}=\sum \limits _{a=4}^{9}(x^{a})^{2},

donde las funciones y se encontraron en [21] , $f(r)$ $hora)$

f(r)={\frac {1}{h(r)}}=\left(1+{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)^{ -{\frac {1}{2}}},

( 50 )

R^{4}=4\pi g_{s}N\alpha ^{\prime \;2}.

( 51 )

Aquí - constante de acoplamiento de la cuerda, - tensión de la cuerda. $g_s$ ${\ estilo de visualización \ alfa ^ {\ principal}}$

Para , la métrica ( 49 ) se vuelve asintóticamente plana, pero para , tenemos: $r\to\infty$ $r \ a 0$

ds^{2}={\frac {r^{2}}{R^{2}}}(-dt^{2}+d{\overline {x}}^{2})+{ \frac {R^{2}}{r^{2}}}dr^{2}+R^{2}d\Omega _{5}^{2}.

( 52 )

Los primeros dos términos en ( 52 ) describen el espacio en coordenadas de Poincaré (la sustitución conduce a ( 18 )). Así, la métrica ( 52 ) describe el espacio donde la esfera tiene un radio constante , es decir la métrica ( 49 ) alrededor de la pila de branas D3 en supergravedad tipo IIB en la vecindad de la fuente (distancia a la pila ) tiene una garganta con un radio asintóticamente constante (cada círculo del embudo es una esfera ). $AdS_{5}$ $r={\frac{R^{2}}{z}}$ $AdS_{5}\veces S^{5}$ ${\ estilo de visualización S^{5}}$ $R$ $r\aproximadamente 0$ ${\ estilo de visualización S^{5}}$

La aparición de una estructura topológica para la métrica ( 49 )-( 50 ) cerca de la singularidad tiene una similitud visible con la aparición de una estructura topológica para la métrica ( 32 ) cerca del horizonte de un agujero negro cargado en un espacio de 4 dimensiones. Espacio de Minkowski asintóticamente plano. $AdS_{5}\veces S^{5}$ $r=0$ $AdS_{2}\veces S^{2}$

El área del cuello está definida por la condición . La aplicabilidad de la descripción gravitacional clásica requiere la consideración de los límites y , de lo contrario, las correcciones de cuerda resultan significativas. esto implica ${\ estilo de visualización r \ ll R}$ ${\displaystyle r\gg {\sqrt {\alpha ^{\prime ))))$ $g_{s}\a 0$

g_{s}N\gg 1,

( 53 )

en el límite , es decir el número de branas D3 en la pila (aproximación de una pila infinitamente masiva). En este caso, la fuente se elimina infinitamente de cualquier punto de la garganta ( 52 ), lo que significa que la métrica ( 52 ) puede considerarse como una métrica de fondo para cualquier región dentro de la garganta. $g_{s}\a 0$ ${\ estilo de visualización N \ a \ infinito}$ $r=0$

En la teoría de supercuerdas de tipo IIB , en la que las cuerdas son inicialmente cerradas, surgen dinámicamente cuerdas abiertas que terminan en branas (también de origen dinámico). La dinámica de los extremos de las cuerdas define una cierta teoría de campos sobre estas branas en el espacio-tiempo plano . En el caso de las branas D3, se trata de una teoría de Yang-Mills supersimétrica con un grupo de calibre , que es una teoría de campo conforme con una constante de acoplamiento . La dinámica de esta teoría, como se mencionó anteriormente (en la sección Conexión de haz de contorno para dinámica en AdS ), estará completamente determinada por la supergravedad de tipo IIB contra el fondo , y viceversa. En términos generales, esta es la esencia de la hipótesis de correspondencia AdS/CFT . ${\ estilo de visualización {\ cal {N}} = 4}$ $SU(N)$ ${\ Displaystyle g \ sim {\ sqrt {g_ {s}}}}$ $AdS_{5}\veces S^{5}$

Es importante señalar que, debido a ( 53 ), la descripción gravitatoria de la teoría del campo conforme es aplicable en , es decir en el límite de acoplamiento fuerte, que potencialmente abre amplias posibilidades para una descripción no perturbadora del acoplamiento fuerte en la teoría del campo de calibre utilizando la gravedad en el espacio AdS de dimensiones más altas. El desarrollo de esta idea ha jugado un papel muy importante en la física teórica moderna y también ha llevado a la construcción de numerosos modelos fenomenológicos para describir varios fenómenos físicos en el régimen de acoplamiento fuerte, especialmente en la teoría de interacciones fuertes (ver correspondencia AdS/QCD ). $g^{2}N\gg 1$

Notas

↑ S. Kobayashi y K. Nomizu, "Fundamentos de geometría diferencial", Volumen 1. Una publicación de Wiley en estadística aplicada, Wiley, 1996.
↑ Hay otros anidamientos donde el tiempo global puede no estar cerrado.
↑ T. Koda, "Introducción a la geometría de espacios homogéneos", 2009.
↑ Más estrictamente, en topología se habla de la estructura de un haz principal sobre una base con una proyección y una fibra típica . Como y son grupos de Lie, pero hay un homomorfismo (con núcleo ), podemos escribir: . ${\ estilo de visualización (O (3), S ^ {2}, \ pi)}$ $S^{2}$ ${\ estilo de visualización \ pi: \, O (3) \ a S ^ {2))$ ${\ estilo de visualización O (2)}$ ${\ estilo de visualización O (2)}$ ${\ estilo de visualización O (3)}$ $\Pi$ ${\ estilo de visualización O (2)}$ $O(2)\a O(3)\a S^{2}=O(3)/O(2)$
↑ 1 2 L. P. EISENHART, "Geometría Riemanniana", p. 84-85. Prensa de la Universidad de Princeton, 1949.
↑ diputado d. Carmo, "Geometría riemanniana" / Manfredo do Carmo; traducido por Francis Flaherty. Matemáticas. Teoría y aplicaciones, Boston: Birkhäuser, 1992.
↑ P. Petersen, "Geometría de Riemann". Textos de Posgrado en Matemáticas, Springer New York, 2006.
↑ J. Penedones, "Conferencias TASI sobre AdS/CFT", en Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields and Strings, 8 de 2016.
↑ La métrica en forma hiperbólica también se puede obtener haciendo un cambio en ( 4 ) y usando ( 7 ).}. ${\ estilo de visualización \ rho = R \ nombre del operador {sh} (k)}$
↑ De ahora en adelante, el término a granel denota áreas del espacio global externas a la cobertura de coordenadas (parche) sin características tales como un límite o un horizonte.
↑ CA Bayona y NRF Braga, "Límite de Antide Sitter en coordenadas de Poincaré", Gen. rel. Gravedad, vol. 39, pág. 1367-1379, 2007.
↑ B. Zwiebach, "Un primer curso de teoría de cuerdas". Prensa de la Universidad de Cambridge, 7 de 2006.
↑ PP Avelino, AJS Hamilton, CAR Herdeiro y M. Zilhão, "Inflación masiva en un agujero negro de reissnernordström ddimensional: ¿una jerarquía de aceleradores de partículas?", Physical Review D, vol. 84, julio de 2011.
↑ SW Hawking, "Creación de partículas por agujeros negros", Communications in Mathematical Physics, vol. 43, núm. 3, pág. 199-220, 1975.
↑ C. Kiefer, "Hacia una teoría cuántica completa de los agujeros negros", Lecture Notes in Physics, p. 416-450, julio de 2003.
↑ ZZ Ma, "Temperatura de Hawking del agujero negro de Kerr-Newman-Ads del túnel", Physics Letters B, vol. 666, pág. 376-381, septiembre de 2008. 36
↑ Aquí se asume que una configuración termodinámicamente estable es factible, cuando la evaporación del agujero negro es igual a la masa absorbida por él. $AdS_{5}$
↑ H. Năstase, "Introducción a la correspondencia AdS/CFT". Prensa de la Universidad de Cambridge, 2015.
↑ Una singularidad cónica se da en una métrica cilíndrica de tipo , donde , pero . En este caso, visto desde , no tendremos un cilindro, sino un cono, que obviamente tiene una singularidad de curvatura en el punto . $ds^{2}\sim d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}$ ${\ estilo de visualización \ theta \ en [0.2 \ pi - \ Delta]}$ ${\ estilo de visualización \ Delta \ neq 0}$ $\matemáticas R^3$ ${\ estilo de visualización \ rho = 0}$
↑ E. Witten, "Espacio de asiento de antide, transición de fase térmica y confinamiento en teorías de medida", 1998.
↑ GT Horowitz y A. Strominger, "Cuerdas negras y Pbranes", Nucl. física B, vol. 360, pág. 197-209, 1991.

Literatura

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Enlaces

Espacio-tiempo de curvatura negativa. // Juan Maldacena. Ilusión de gravedad. - Elementos (Reimpresión de la revista "En el mundo de la ciencia" No. 2, 2006)
Lección 8. El Universo de Friedman. (anti-)de Sitter space // M. O. Katanaev, Dr. Sci. norte. . Curso especial “Relatividad General y Teoría Geométrica de Defectos” - M.: MIAN, 2015.