Espacio de funciones básicas

El espacio de funciones básicas es una estructura con la ayuda de la cual se construye el espacio de funciones generalizadas (el espacio de funcionales lineales sobre el espacio de funciones básicas).

Las funciones generalizadas son de gran importancia en la física matemática , y el espacio de funciones básicas se utiliza como base para la construcción de funciones generalizadas (formalmente, este es el dominio de las funciones generalizadas correspondientes). Las ecuaciones diferenciales se consideran en los llamados. sentido débil , es decir, no consideramos una igualdad puntual, sino la igualdad de los funcionales lineales regulares correspondientes en un espacio apropiado de funciones básicas. Ver espacios de Sobolev .

Habitualmente, se elige como espacio de funciones básicas el espacio de funciones infinitamente diferenciables con soporte compacto (las llamadas funciones finitas ) , sobre el que se introduce la siguiente convergencia (y por tanto la topología ): ${\mathcal {D}}(\Omega )$ $C_{0}^{\infty}(\Omega )$

La sucesión converge a si: $\left\{u_{j}\right\}_{j=1}^{\infty}\subset {\mathcal {D}}(\Omega )$ $u\in {\mathcal {D}}(\Omega )$

Las funciones son uniformemente finitas , es decir, son compactas en e inclusive . $tu_{j}$ $\existe K$ $\Omega$ $\forall j\;\mathrm {soporte} \,u_{j}\subconjunto K$
$\forall \alpha \;D^{\alpha }u_{j}(x)\to D^{\alpha }u(x)$ uniformemente sobre . $X$

Aquí hay un área delimitada en . $\Omega$ $\mathbb{R} ^{n}$

Para preguntas de transformada de Fourier , se utilizan funciones generalizadas de crecimiento lento. Para ellos, la clase de Schwartz se elige como la principal : infinitamente suave en funciones que disminuyen más rápido que cualquier grado junto con todas sus derivadas. La convergencia en ella se define de la siguiente manera: la secuencia de funciones converge a si ${\mathcal {S}}={\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ $\mathbb{R} ^{n}$ $|x|\a \infty$ ${\ estilo de visualización | x | ^ {-k}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {1}, \ phi _ {2}, \ puntos}$ ${\ estilo de visualización \ phi ^ {*}}$

\forall \alpha ,\beta \in \mathbb {N} \ |x|^{\alpha }D^{\beta }\phi _{j}(x)\to |x|^{\alpha }D^{\beta}\fi^{*}(x)

uniformemente sobre .

X

La elección de la clase de Schwartz para construir la transformada de Fourier en el espacio de funciones generalizadas está determinada por el hecho de que la transformada de Fourier es un automorfismo en la clase de Schwartz.

Literatura

VS Vladímirov . Funciones generalizadas en física matemática. - ed. 2do. — M .: Nauka , 1979 . — 320 s.

Espacio de funciones básicas

Literatura

Véase también