Pfaffian

El Pfaffian de una matriz asimétrica es algún polinomio en sus elementos cuyo cuadrado es igual al determinante de esta matriz. Al igual que el determinante, el Pfaffian es distinto de cero solo para matrices asimétricas de tamaño , en cuyo caso su grado es n . $2n\veces 2n$

Ejemplos

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a\\-a&0\end{bmatrix}}=a.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&a&b&c\\-a&0&d&e\\-b&-d&0&f\\-c&-e&-f&0\end{bmatrix}}=af-be+dc.

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&\lambda _{1}&0&0&\cdots &0&0\\-\lambda _{1}&0&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&\lambda_{2}&\cdots &0&0 \\0&0&-\lambda _{2}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &0&\lambda _{n}\\ 0&0&0&0&\cdots &-\lambda _{n}&0\end{bmatrix}}=\lambda _{1}\lambda _{2}\cdots \lambda _{n}.

Definición

Denotemos el conjunto de todas las particiones de un conjunto en pares desordenados (existen tales particiones en total). La división se puede escribir $\Pi$ $\{1,2,\puntos,2n\}$ $(2n-1)!!$ $\alfa \en \Pi$

\alpha =\{(i_{1},j_{1}),(i_{2},j_{2}),\cdots ,(i_{n},j_{n})\}

donde y . Dejar $i_{k}<j_{k}$ $i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}$

\pi ={\begin{bmatrix}1&2&3&4&\cdots &2n\\i_{1}&j_{1}&i_{2}&j_{2}&\cdots &j_{{n}}\end{bmatrix}}

denota la permutación correspondiente , y es el signo de la permutación . Es fácil ver que no depende de la elección de . ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\Pi$ ${\mbox{sgn}}(\alpha )$ $\Pi$

Deje denotar una matriz simétrica sesgada. Para la partición , definimos $A=\{a_{{ij}}\}$ $2n\veces 2n$ $\alfa$

A_{\alpha }=\operatorname {sgn}(\alpha )a_{{i_{1},j_{1}}}a_{{i_{2},j_{2}}}\cdots a_{{i_{ n},j_{n}}}.

Ahora podemos definir el Pfaffiano de la matriz A como

\operatorname {Pf}(A)=\sum_{{\alpha \in \Pi }}A_{\alpha }.

El Pfaffian de una matriz de tamaño simétrica oblicua para n impar es cero por definición. $n\veces n$

Definición recursiva

Se supone que el Pfaffian de la matriz de tamaño es 1; El Pfaffian de una matriz A simétrica sesgada de tamaño en se puede definir recursivamente de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización 0 \ veces 0}$ $2n\veces 2n$ $n>0$

\operatorname {Pf} (A)=\sum _{{j=1} \atop {j\neq i}}^{2n}(-1)^{i+j+1+\theta (ij )}a_{ij}\nombre del operador {Pf} (A_{{\hat {\imath }}{\hat {\jmath }}}),

donde el índice se puede elegir arbitrariamente, es la función de Heaviside , denota la matriz A sin las i -ésimas y j -ésimas columnas y filas. $i$ ${\ estilo de visualización \ theta (ij)}$ ${\displaystyle A_{{\sombrero {\imath)){\sombrero {\jmath))))$

Definición alternativa

Para una matriz simétrica oblicua , considere un bivector : $2n\veces 2n$ $A=\{a_{{ij}}\}$

\omega =\sum_{{i<j}}a_{{ij}}\;e_{i}\cuña e_{j}.

donde está la base estándar en . Entonces el Pfaffian viene dado por la siguiente ecuación: $\{e_{1},e_{2},\puntos,e_{{2n}}\}$ ${\mathbb R}^{{2n))$

{\frac {1}{n!)}}\omega ^{{\cuña n}}={\mbox{Pf}}(A)\;e_{1}\cuña e_{2}\cuña \puntos \ cuña e_{{2n}},

donde denota el producto exterior de n copias . $\omega ^{{\cuña n}}$ $\omega$

Propiedades

Para una matriz simétrica oblicua y para una matriz arbitraria : $2n\veces 2n$ $A$ $2n\veces 2n$ $B$

${\mbox{Pf}}(A)^{2}=\det(A)$

${\mbox{Pf}}(BAB^{T})=\det(B){\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(\lambda A)=\lambda ^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

${\mbox{Pf}}(A^{T})=(-1)^{n}{\mbox{Pf}}(A)$

Para una matriz diagonal de bloques

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}A_{1}&0\\0&A_{2}\end{bmatrix}}={\mbox{Pf}}(A_{1}){\mbox{Pf} }(A_{2}).

Para una matriz arbitraria : $n\veces n$ $METRO$

{\mbox{Pf}}{\begin{bmatrix}0&M\\-M^{T}&0\end{bmatrix}}=(-1)^{{n(n-1)/2}}\det M .

Historia

El término "Pfaffian" fue introducido por Cayley [1] y recibió su nombre del matemático alemán Johann Friedrich Pfaff .

Notas

↑ Primeros usos conocidos de algunas de las palabras de las matemáticas . Consultado el 29 de noviembre de 2009. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2009. (indefinido)

Literatura

Vyaly M. N. Pfaffians para problemas de enumeración // Escuela de verano "Matemáticas modernas". — 2004.
Lento M. N. Pfaffians o el arte de colocar signos... // Educación Matemática . - 2005. - Nº 9 .