Ecuación de Pfaffian

Una ecuación de Pfaffian es una ecuación de la forma , donde es una forma diferencial de 1 (forma de Pfaffian) en el haz tangente de una variedad de dimensión . Nombrado en honor al matemático alemán Johann Friedrich Pfaff . ${\ estilo de visualización \ omega = 0}$ $\omega$ $M^{n}$ $norte$

Si se introducen coordenadas (locales) en la variedad , entonces la ecuación de Pfaffian (localmente) tiene la forma $M^{n}$ $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$

a_{1}(x)\,dx_{1}+a_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{n}(x)\,dx_{n}=0,

donde están definidas las funciones escalares en . El ejemplo más simple es una ecuación diferencial de primer orden, escrita en la llamada forma simétrica : ${\ estilo de visualización a_ {i} (x)}$ $M^{n}$

P(x,y)\,dx+Q(x,y)\,dy=0,\quad x,y\in \mathbb {R}

Sistema Pfaffian

Un sistema de Pfaffian (un sistema de ecuaciones de Pfaffian) es un sistema de ecuaciones de la forma , donde son formas diferenciales 1 en el paquete tangente de una variedad de dimensión . En coordenadas de Pfaffian, el sistema tiene la forma $\omega_{1}=0,\omega_{2}=0,\ldots,\omega_{m}=0$ $\ omega _ {i}$ $M^{n}$ $norte$

$\left\{{\begin{matriz}a_{11}(x)\,dx_{1}+a_{12}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{1n}(x )\,dx_{n}&=0\\a_{21}(x)\,dx_{1}+a_{22}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{2n}(x) \,dx_{n}&=0\\\puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \\\puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \ puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \\a_{m1}(x)\,dx_{1}+a_{m2}(x)\,dx_{2}+\cdots +a_{ mn}(x)\,dx_{n}&=0.\\\end{matriz}}\right.\qquad \qquad (*)$

El rango de un sistema de Pfaffian en un punto es el número igual al rango de la matriz . Suele pasar . $x=(x_{1},\ldots,x_{n})$ $r(x)$ ${\ estilo de visualización (a_ {ij} (x))}$ ${\ estilo de visualización r (x) <n}$

El sistema de Pfaffian (*) define en el espacio tangente un subespacio vectorial de dimensión , que se denomina subespacio admisible en un punto dado. El campo de subespacios admisibles así construido se denomina distribución correspondiente al sistema de Pfaffian (*). En particular, para , la distribución es el campo de direcciones sobre , para , la distribución es el campo de planos bidimensionales, y para , la distribución es el campo de hiperplanos . $T_{x}M^{n}$ ${\ estilo de visualización nr (x)}$ $M^{n}$ ${\ estilo de visualización r (x) \ equivalente n-1}$ $M^{n}$ ${\ estilo de visualización r (x) \ equivalente n-2}$ ${\ estilo de visualización r (x) \ equivalente 1}$

Los sistemas pfaffianos son una generalización de las ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden: eligiendo entre las coordenadas una (por ejemplo, ) como “variable independiente” y dividiendo las ecuaciones del sistema (*) por , obtenemos un sistema de EDO de primer orden: $x_{1},\ldots,x_{n}$ $x_{n}$ $dx_{n}$

$\left\{{\begin{matriz}a_{11}(x)\,x_{1}'+a_{12}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{1n- 1}(x)\,x_{n-1}'+a_{1n}(x)&=0\\a_{21}(x)\,x_{1}'+a_{22}(x)\ ,x_{2}'+\cdots +a_{2n-1}(x)\,x_{n-1}'+a_{2n}(x)&=0\\\dots \dots \dots \dots \ puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \\\puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \puntos \\a_{m1 }(x)\,x_{1}'+a_{m2}(x)\,x_{2}'+\cdots +a_{mn-1}(x)\,x_{n-1}'+a_ {mn}(x)&=0,\\\end{matriz}}\right.\qquad \qquad (**)$

donde _ ${\displaystyle x_{i}'=dx_{i}/dx_{n))$

Geométricamente, la transición del sistema (*) al sistema (**) significa la transición de coordenadas homogéneas a coordenadas no homogéneas en espacios tangentes proyectivizados a una variedad . $(dx_{1},\ldots,dx_{n})$ $M^{n}$

Integración de sistemas Pfaffian

El principal problema asociado con los sistemas de Pfaffian es encontrar sus superficies integrales —superficies (subvariedades) de dimensiones en la variedad en la que se satisfacen todas las ecuaciones del sistema (*). Geométricamente, esto significa que la superficie integral en cada punto es tangente al subespacio admisible dado por el sistema (*), es decir, el espacio tangente a k está contenido en el subespacio admisible del sistema (*). $1,2,\ldots,n-1$ $M^{n}$ $S$ $S$

Un sistema Pfaffiano (*) de rango constante se llama completamente integrable si por cada punto de la variedad pasa una superficie integral de la máxima dimensión posible . $m<n$ $M^{n}$ ${\ Displaystyle S_ {nm}}$ $Nuevo Méjico$

En una vecindad de cualquier punto, un sistema de rango completamente integrable se puede reducir a la forma canónica eligiendo coordenadas locales adecuadas en la variedad $m<n$ $M^{n}$

dx_{1}=0,\ dx_{2}=0,\,\ldots,\,dx_{m}=0.

La condición necesaria y suficiente para la completa integrabilidad viene dada por el teorema de Frobenius . Aplicada al sistema Pfaffian (*), esta condición se puede expresar de la siguiente manera:

\omega_{1}\cuña \puntos \cuña \omega_{m}\cuña d\omega_{i}=0\quad \ i=1,\ldots,m,\qquad \qquad (* **)

donde denota el diferencial exterior de la forma 1 y denota el producto exterior de las formas. ${\displaystyle d\omega _{i))$ $\cuña$

Ejemplos

La ecuación de Pfaffian es completamente integrable: sus superficies integrales son planos en el espacio tridimensional. Con la ayuda de un reemplazo , esta ecuación se reduce a la forma canónica La condición (***) del teorema de Frobenius obviamente se cumple en este caso, ya que ${\displaystyle\omega=dx_{1}+dx_{2}+dx_{3}=0}$ $x_{1}+x_{2}+x_{3}=c$ ${\tilde {x}}_{1}=x_{1}+x_{2}+x_{3}$ $d{\tilde {x}}_{1}=0.$ $d\omega =0.$

La ecuación de Pfaffian no es completamente integrable. En este caso , tampoco se cumple la condición (***) del teorema de Frobenius: $\omega =x_{3}\,dx_{1}+dx_{2}=0$ ${\displaystyle d\omega =dx_{3}\cuña dx_{1))$

\omega \cuña d\omega =(x_{3}\,dx_{1}+dx_{2})\cuña (dx_{3}\cuña dx_{1})=dx_{1}\cuña dx_ {2}\cuña dx_{3}\neq 0.

Véase también

Literatura

Rashevsky P.K. Teoría geométrica de ecuaciones diferenciales parciales, - Cualquier edición.
Stepanov V.V. Curso de ecuaciones diferenciales, - Cualquier edición.