Distribución (geometría diferencial)

Una distribución en una variedad es un subhaz del paquete tangente de la variedad. En otras palabras, en cada punto se elige un subespacio lineal del espacio tangente , que depende suavemente del punto . $METRO$ $x\en M$ $\Delta _{x}$ $T_{x}M$ $X$

Las distribuciones se utilizan en la teoría de la integrabilidad y en la teoría de las foliaciones en una variedad.

Definición

Sea una variedad de dimensiones suaves y . Supongamos que en cada punto se elige un subespacio bidimensional del espacio tangente de modo que cualquier punto tiene una vecindad y campos vectoriales uniformes linealmente independientes , y para cualquier punto , los vectores forman la base del subespacio . $METRO$ $norte$ ${\ Displaystyle k \ leq n}$ $x \en M$ $k$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {x} \ subconjunto T_ {x} (M)}$ $x\en M$ $U_{x}\subconjunto M$ $k$ $X_{1},\ldots,X_{k}$ ${\ estilo de visualización y \ en U_ {x}}$ $X_{1}(y),\ldots,X_{k}(y)$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {y} \ subconjunto T_ {y} (M)}$

En este caso, el conjunto de todos los subespacios , , se denomina distribución -dimensional en la variedad . $\Delta$ $\Delta _{x}$ $x \en M$ $k$ $METRO$

En este caso, los campos vectoriales se denominan base local de la distribución . $\{X_{1},\ldots,X_{k}\}$ ${\ estilo de visualización \ Delta.}$

Distribuciones involutivas

Una distribución en se llama involutiva si en la vecindad de cada punto existe una base de distribución local tal que todos los corchetes de Lie de los campos vectoriales pertenecen al tramo lineal , es decir, son combinaciones lineales de vectores . involutivo se escribe como . $\Delta$ $METRO$ $x \en M$ $\{X_{1},\ldots,X_{k}\}$ ${\ estilo de visualización [X_ {i}, X_ {j}]}$ $\{X_{1},\ldots,X_{k}\}$ ${\ estilo de visualización [X_ {i}, X_ {j}]}$ $\{X_{1},\ldots,X_{k}\}.$ $\Delta$ $[\Delta ,\Delta ]\subconjunto \Delta$

Las distribuciones involutivas son espacios tangentes a las foliaciones . Las distribuciones involutivas son importantes porque satisfacen las condiciones del teorema de Frobenius y, por lo tanto, conducen a sistemas integrables.

Definición de una distribución por un sistema de 1 formulario

En un conjunto abierto, la distribución -dimensional puede estar dada por un sistema de formas uniformes definidas en 1 y linealmente independientes en cada punto: está definida por las ecuaciones . Si y son sistemas de 1-formas que determinan la distribución en y en , entonces en la intersección la forma , donde son funciones suaves tales que en . Si , decimos que el sistema de definición global de formas está dado . $U\subconjunto M$ $k$ $\Delta$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {1}, \ puntos, \ omega _ {nk}}$ $tu$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {i} (\ xi) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ {\ omega _ {1} \ puntos, \ omega _ {nk} \}}$ ${\displaystyle \{\omega _{1}',\dots,\omega _{nk}'\))$ $\Delta$ $tu$ $tu$ $U\cap U'$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {i} = \ suma \ phi _ {ij} \ omega _ {j}}$ ${\ estilo de visualización \ phi _{ij}}$ ${\ estilo de visualización \ det (\ phi _ {ij}) \ neq 0}$ $U\cap U'$ ${\ estilo de visualización U = M}$

Integrabilidad de distribución

$k$ Se dice que una distribución bidimensional es integrable si hay una superficie integral bidimensional que pasa por cada punto que es tangente a la distribución en cada uno de sus puntos. $x\en M$ $k$

La distribución unidimensional viene dada por un campo vectorial que no se anula . Tal distribución es siempre integrable debido al teorema de existencia local y unicidad para soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias.

En el caso -dimensional , hay distribuciones tanto integrables como no integrables. El teorema de Frobenius da una condición necesaria y suficiente para la integrabilidad de una distribución. $k$ $k>1$

Teorema de Frobenius en términos de campos vectoriales

Teorema: Una distribución bidimensional es integrable si y solo si el conjunto de vectores tangentes a la distribución está cerrado bajo el corchete de Lie . $k$

Por lo tanto, las distribuciones involutivas son integrables.

Teorema de Frobenius en términos de 1-formas

Teorema: -la distribución dimensional dada por un sistema de 1-formas suaves es integrable si y solo si alguna diferencial $k$ ${\ estilo de visualización \ omega _ {1}, \ puntos, \ omega _ {nk}}$

${\ Displaystyle d \ omega _ {i} = \ sum _ {j} \ eta _ {j} ^ {i} \ cuña \ omega _ {j}}$ ,

donde son formas 1 suaves. Si las formas definidoras son independientes, esta condición es equivalente al sistema ${\ estilo de visualización \ eta _ {j} ^ {i}}$ $\omega _{{i}}$

${\ estilo de visualización \ omega _ {1} \ cuña \ puntos \ cuña \ omega _ {nk} \ cuña d \ omega _ {i} = 0}$ .

Una distribución integrable define una foliación sobre una variedad : sus fibras son superficies de distribución integral. Tenga en cuenta que la distribución bidimensional siempre es integrable, por lo que genera una foliación andimensional . $\Delta$ $METRO$ $una$ $una$

Teorema de Thurston

Teorema de Thurston : En una variedad cerrada , toda distribución es homotópicamente integrable [1] , [2] .

Para una variedad abierta , Haefliger [3] encontró un criterio para que una distribución sea homotópica a alguna distribución integrable .

Véase también

Notas

↑ W. Thurston , La teoría de las foliaciones de codimensión mayor que uno - Comm. Matemáticas. Helv.49 (1974), págs. 214–231.
↑ W. Thurston , Existencia de foliaciones de codimensión uno - Ann. of Math., 104:2 (1976), págs. 249–268.
↑ A. Haefliger , Feuilletages sur les variétés ouvertes - Topology, 9:2 (1970), págs. 183–194.

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometría moderna. Métodos y aplicaciones. — M .: Nauka, 1971.
Fomenko A. T. , Fuchs D. B. Un curso de topología de homotopía. — M .: Nauka, 1989.