Igualdad (matemáticas)

La igualdad (relación de igualdad) en matemáticas  es una relación binaria , el tipo de relación de equivalencia lógicamente más fuerte .

Definiciones de igualdad

La igualdad es una relación intuitiva: el significado de dos expresiones es el mismo . En su definición formal, hay inconsistencia.

La teoría de conjuntos , por definición, considera dos objetos (es decir, dos conjuntos ) iguales si constan de los mismos elementos:

En las teorías con tipificación de objetos , la relación de igualdad sólo tiene sentido entre elementos del mismo tipo (es decir, dentro de un determinado conjunto). Los logicistas (primero en la lógica de predicados de Frege , luego en la teoría de tipos) se basaron en una definición de igualdad similar a la de la teoría de conjuntos pero considerando las relaciones desde un ángulo diferente:

Es decir, para la igualdad de dos objetos , es necesario y suficiente que cualquier predicado que se pueda construir sobre un tipo dado les dé el mismo valor booleano. Sin embargo, no fueron los lógicos quienes propusieron esta definición, incluso Leibniz la conocía .

Algunas teorías formales eluden la definición de igualdad, considerándola una relación de equivalencia inicialmente dada.

Definiciones relacionadas

La definición formal y la comprensión intuitiva de la igualdad a veces entran en conflicto. ¿Es (entero) el número 1 igual al número (real) ? Desde el punto de vista de la intuición, sí, pero desde el punto de vista de la teoría de tipos, la pregunta está mal planteada (cf. con el problema del typecasting en programación). En matemáticas, en tales casos, se implica una incrustación canónica de un conjunto (espacio, tipo) en otro más grande. La cuestión de la igualdad de un número entero a un número real puede entenderse como la igualdad de un número real propiamente dicho y otro número real correspondiente a nuestro todo. Es decir, trabajar con hechos intuitivamente “obvios”, como que todo número entero es racional y lo racional es real, requiere reservas especiales en el marco de algunos enfoques formales.

Una ecuación es una declaración lógica  construida utilizando la igualdad , que incluye una variable . Especifica un subconjunto del área temática de la variable: el conjunto de raíces de la ecuación.

La definición de una cantidad o variable se escribe usando igualdad: Sea la variable igual a la expresión.

Una identidad  es una declaración que es verdadera para cualquier valor de las variables. A menudo (aunque no necesariamente) se construye sobre la base de una relación de igualdad.

Véase también

• Signo igual
• Asignación
• Comparación (programación)
• Equivalencia
• Igualdad a tercero