Polígono equilátero

Un polígono equilátero es un polígono en el que todos los lados son iguales. Por ejemplo, un triángulo equilátero es un triángulo en el que los tres lados son iguales; todos los triángulos equiláteros son semejantes y tienen ángulos interiores 60 grados. Un cuadrilátero equilátero es un rombo , y un cuadrado es un caso especial de un rombo.

Propiedades

Un polígono equiángulo que también es equiángulo es un polígono regular .

Un polígono equilátero inscrito en un círculo (sus vértices se encuentran en el círculo) es un polígono regular (es decir, un polígono que es equilátero y equiángulo al mismo tiempo ).

El polígono circunscrito (que tiene un círculo tangente a todos sus lados) es equilátero si y solo si los ángulos que pasan por uno son iguales (es decir, con numeración secuencial de ángulos, los ángulos con los números 1, 3, 5, ... son iguales y los ángulos 2 , 4, … son iguales). Así, si es impar, el polígono circunscrito es equilátero si y sólo si es regular [1] . $norte$

Todos los cuadrángulos equiláteros son convexos , pero hay pentágonos equiláteros cóncavos , así como polígonos equiláteros convexos con más lados.

Cada diagonal principal de un hexágono lo divide en cuadriláteros. En todo hexágono equilátero convexo de lado común existe [2] una diagonal principal tal que: $a$ $d_{1}$

{\frac {d_{1}}{a}}\leqslant 2

y la diagonal principal , tal que: $d_{2}$

{\frac{d_{2}}{a}}>{\sqrt {3}}

Existe una secuencia finita de reflexiones elementales que transforman cualquier polígono equilátero en uno regular [3] [4] .

Teorema de Viviani

El teorema de Viviani sobre la constancia de la suma de distancias desde un punto interior arbitrario a cada uno de los lados se generaliza para polígonos equiláteros [5] . En efecto, al representar los lados del polígono como vectores , además, eligiendo direcciones de modo que el final de un vector sea el principio de otro, la suma de estos vectores es igual a cero, y por lo tanto: ${\ estilo de visualización (a_ {i}, b_ {i})}$

{\ estilo de visualización \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} = 0}

, .

{\ estilo de visualización \ suma _ {i = 1} ^ {n} b_ {i} = 0}

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que todas las longitudes de los vectores son iguales a 1. Girando todos los vectores 90 ° en la misma dirección, obtenemos vectores y todos serán normales a los lados. La ecuación de una recta que pasa por el lado vendrá dada por la ecuación . Dado que la longitud del vector es igual a uno, la distancia a la línea desde cualquier punto del plano será igual (la distancia puede ser negativa, depende del semiplano en el que se encuentre el punto), y la suma de los distancias es igual , es decir, no depende de la posición del punto. ${\ estilo de visualización (-b_ {i}, a_ {i})}$ $i$ $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}=0$ $(x, y)$ $-b_{i}x+a_{i}y+c_{i}$ $\sum_{i=1}^{n}(-b_{i}x+a_{i}y+c_{i})=-x\sum_{i=1}^{n}b_ {i}+y\sum_{i=1}^{n}a_{i}+\sum_{i=1}^{n}c_{i}=\sum_{i=1}^{n }c_{yo}$

Área y perímetro de polígonos equiláteros

Si es impar, entonces un -ágono regular de diámetro unitario da el área y el perímetro máximos posibles [6] . $norte$ $norte$
Un -gon regular es la única solución en el problema de encontrar el área máxima de una figura de diámetro unitario, si es impar, pero en el problema de encontrar el período máximo si es impar, la solución es única solo para las simples . $norte$ $norte$ $norte$ $norte$
Si y es par , entonces un -ágono regular de diámetro unitario no da ni un área máxima ni un perímetro máximo. $norte$ ${\ Displaystyle n \ geqslant 6}$ $norte$
Si tiene un divisor impar, entonces cualquier polígono con perímetro máximo es equilátero. $norte$

Véase también

pentágono equilátero

Notas

↑ Michael De Villiers. Polígonos equiángulos cíclicos y equiláteros circunscritos // Gaceta Matemática . - Marzo 2011. - Edición. 95 . - S. 102-107 .
↑ Desigualdades propuestas en "Crux Mathematicorum" , [1] Archivado el 30 de agosto de 2017 en Wayback Machine . pág.184,#286.3
↑ Godfried Toussaint. El teorema de Erds-Nagy y sus ramificaciones // Geometría Computacional. - 2005. - Edición. 31 . - S. 219-236 .
↑ Kenneth C. Millett. Anudado de polígonos regulares en 3 espacios // Revista de teoría de nudos y sus ramificaciones. - 1994. - T. 3 , nº. 3 . - S. 263-278 .
↑ Elías Abboud. Sobre el teorema de Viviani y sus extensiones // College Mathematics Journal. - marzo de 2010. - T. 43 (3) .
↑ Michael J. Mossinghoff. Un problema isodiamétrico para polígonos equiláteros // Matemáticas contemporáneas. - 2008. - T. 457, .

Enlaces

Triángulo equilátero Con animación interactiva
Una propiedad de los polígonos equiángulos: ¿de qué se trata? una discusión del teorema de Viviani en Cut-the-knot .