Descomposición de Ricci

La descomposición de Ricci es la descomposición del tensor de curvatura de Riemann en partes de tensor que son irreducibles con respecto al grupo ortogonal . Esta descomposición juega un papel importante en la geometría riemanniana y pseudo-riemanniana.

Componentes del tensor de Riemann

El desglose se ve así:

R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.

Sus elementos son:

parte escalar , ${\ Displaystyle S_ {abcd}}$
semi-traza parcial , ${\ Displaystyle E_ {abcd}}$
la parte completamente sin rastro , que lleva el nombre especial de tensor de Weyl , . $C_{{abcd}}$

Cada elemento tiene las mismas simetrías que el tensor de curvatura, pero también tiene propiedades algebraicas específicas.

parte escalar

{\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)))\,H_{abcd))

depende únicamente de la curvatura escalar (donde es el tensor de Ricci ), y del tensor métrico , que se combinan de tal manera que dan un tensor con simetría de tensor de curvatura: $R={R^{m}}_{m}$ $R_{ab}={R^{c}}_{acb}$ $charla}}$ ${\ Displaystyle H_ {abcd}}$

H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.

Semi-traza parte

E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd }\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d ]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)

se obtiene de manera similar a partir de la parte sin trazas del tensor de Ricci

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R

y el tensor métrico . $charla}}$

El tensor de Weil no tiene ningún rastro en el sentido de que su contracción sobre cualquier par de índices da cero. Hermann Weyl demostró que este tensor mide la desviación de una variedad pseudo-riemanniana de una variedad conformemente plana: en dimensiones 4 y superiores, convertirlo a cero implica que la variedad es localmente equivalente conforme a una variedad plana.

Esta descomposición es puramente algebraica y no incluye ninguna derivación.

En el caso de una variedad lorentziana de 4 dimensiones (por ejemplo , espacio-tiempo ) , el tensor de Einstein tiene una traza igual a la curvatura escalar inversa, de modo que las partes sin traza del tensor de Einstein y el tensor de Ricci son las mismas $G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R$

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\, g_{ab}\,G.

Una nota sobre la terminología: la notación es estándar, se usa mucho pero no se acepta generalmente, y los tensores no tienen notaciones establecidas. ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd))$ ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd))$ ${\ Displaystyle S_ {abcd}}$ ${\ Displaystyle H_ {abcd}}$

Como representación irreductible

La expansión de Ricci es una descomposición del espacio de todos los tensores con simetría de tensor de curvatura en representaciones irreducibles del grupo ortogonal [1] . Sea V un espacio vectorial n - dimensional con una métrica introducida en él (posiblemente de firma mixta). Si es un espacio tangente en un punto de la variedad, entonces el tensor de curvatura R con índices covariantes es un elemento del producto tensorial V ⊗ V ⊗ V ⊗ V tal que es antisimétrico en el primer y último par de elementos:

R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)

y es simétrica con respecto a su permutación

R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),

para todo x , y , z , w ∈ V ∗ . Entonces R pertenece al subespacio de formas cuadráticas sobre los bivectores del espacio V . Aparte de esto, el tensor de curvatura también debe satisfacer la identidad de Bianchi , lo que significa que pertenece al núcleo del mapeo lineal de antisimetrización. $S^{2}\Lambda^{2}V$ $b\colon S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V$

b\colon R(x,y,z,w)\mapsto {\tfrac {1}{3))\cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x, w)+R(z,x,y,w)].

El kernel es el espacio de tensores de curvatura algebraica. La descomposición de Ricci es la descomposición de este espacio en componentes irreductibles. Visualización de convolución de Ricci $\mahop {\rm {Ker)) b\subconjunto S^{2}\Lambda^{2}V$

c:S^{2}\Lambda^{2}V\a S^{2}V

se define por la igualdad

c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).

Este mapeo nos permite asociar cada tensor de curvatura algebraica con una forma bidimensional simétrica. Por el contrario, para cualquier 2 formas simétricas , el producto Kulkarni-Nomizu $h$ $k$

h{~\cuña \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h( y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)

define el tensor de curvatura algebraica.

Para , hay una descomposición ortogonal (única) en subespacios irreducibles: $n\geq 4$

R V = S V ⊕ mi V ⊕ C V ,

dónde

\mathbf {S} V=\mathbb {R} g\circ g;

\mathbf {E} V=g\circ S_{0}^{2}V,

donde S20
_V es el espacio de 2 formas simétricas con traza cero ;

\mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.

Los componentes S , E y C de la descomposición de Ricci de un tensor de Riemann R dado son proyecciones ortogonales de R en subespacios invariantes. En particular,

{\ estilo de visualización R = S + E + C}

|R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.

La expansión de Ricci expresa el espacio de tensores con simetría tensorial de Riemann como una suma directa de un submódulo escalar, un submódulo de Ricci y un submódulo de Weil. Cada uno de estos módulos es una representación irreducible del grupo ortogonal , y por lo tanto esta descomposición es un caso especial de la descomposición del módulo de un grupo de Lie semisimple en factores irreducibles.

En el caso de 4 dimensiones, el módulo de Weil se descompone aún más en un par de factores irreducibles en un grupo ortogonal especial : las partes autodual y anti -autodual W + y W − .

Interpretación física

La expansión de Ricci tiene un significado físico dentro de la relatividad general y otras teorías métricas de la gravedad, donde a veces se la denomina expansión de Géhéniau-Debever . En esta teoría , las ecuaciones de Einstein

G^{ab}=8\pi \,T^{ab},

donde está el tensor de energía-momento , que contiene las densidades de energía y momento y los flujos de toda la materia no gravitacional, se argumenta que el tensor de Ritchie (o, de manera equivalente, el tensor de Einstein) describe esa parte del campo gravitatorio que está directamente generada por energía no gravitacional y cantidad de movimiento. El tensor de Weyl es una parte del campo gravitacional que se propaga incluso a través de regiones del espacio que no contienen materia o campos de naturaleza no gravitacional, por ejemplo, en forma de ondas gravitatorias o fuerzas de marea [2] . Las regiones del espacio-tiempo en las que desaparece el tensor de Weyl no contienen ondas gravitacionales y son conformemente planas, lo que implica, por ejemplo, la ausencia de desviación gravitatoria de la luz en tales regiones. ${\ Displaystyle T^{ab}}$

Notas

↑ Besse, 1987 , Capítulo 1, §G.
↑ John Báez. Los tensores de Ricci y Weyl . Tutorial de relatividad general . Fecha de acceso: 4 de junio de 2016. Archivado desde el original el 19 de marzo de 2016.

Enlaces

Besse, Arthur L. (1987), variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Relacionadas (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , pág. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

Hawking, SO; y Ellis, GFR La estructura a gran escala del espacio-tiempo (indefinido) . - Cambridge: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-09906-4 . Véase la sección 2.6 para la descomposición. Este libro usa la firma opuesta pero la misma convención de signos espaciales de Landau-Lifshitz que se usa en la Wikipedia.

Weinberg, Steven. Gravitación y Cosmología: Principios y Aplicaciones de la Teoría General de la Relatividad (Inglés) . - Nueva York: John Wiley & Sons, 1972. - ISBN 0-471-92567-5 . Vea la sección 6.7 para una discusión de la descomposición (pero tenga en cuenta las diferentes convenciones de signos).

Wald, Robert M. Relatividad general (neopr.) . - Prensa de la Universidad de Chicago , 1984. - ISBN 0-226-87033-2 . Ver la sección 3.2 para una discusión de la descomposición.

Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: la generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9 . La Sección 6.1 analiza la descomposición. Las versiones de la descomposición también entran en la discusión de las geometrías conforme y proyectiva, en los capítulos 7 y 8.

Singer, IM & Thorpe, JA (1969), La curvatura de los espacios de Einstein de 4 dimensiones, Análisis global (Papeles en honor de K. Kodaira) , Univ. Prensa de Tokio, pág. 355–365 .