Tensor de einstein

El tensor de Einstein ( ) es una cantidad tensorial que representa la derivada variacional de la curvatura escalar de la conexión Levi-Civita con respecto al tensor métrico . Como tal, se encuentra en el lado izquierdo de la ecuación de Einstein . El tensor de Einstein es un tensor simétrico de segundo rango en el espacio n -dimensional, es decir, contiene componentes independientes que son combinaciones complejas de los componentes del tensor métrico y sus derivadas primera y segunda. $G_{\mu\nu}$ $n(n+1)/2$

El tensor de Einstein es igual a la diferencia entre el tensor de Ricci y la mitad del tensor métrico por la curvatura escalar : $R_{\mu\nu}$ $g_{\mu\nu}$ $R$

G_{\mu \nu }\,=R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2))\,g_{\mu \nu }\,R

Multiplicando ambos lados de esta igualdad por y convolucionando, encontramos la traza del tensor de Einstein: ${\ Displaystyle g ^ {\ mu \ nu}}$

\operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,={\frac {2\,-n}{2}}\,R

Además, en el caso particular del espacio de cuatro dimensiones:

\operatorname {Tr} \,G_{\mu \nu }\,=-\,R

La divergencia covariante del tensor de Einstein es idénticamente cero

G_{\nu ;\mu }^{\mu }\equiv 0

lo que justifica su uso en el lado izquierdo de la ecuación de Einstein , ya que la misma propiedad se cumple para el tensor de energía-momento .

Véase también

Formulación matemática de la relatividad general

Literatura

Ohanian, Hans C. Gravitación y espacio-tiempo / Hans C. Ohanian, Remo Ruffini. - Segundo. - WW Norton & Company , 1994. - ISBN 978-0-393-96501-8 .
Martín, John Legat. Relatividad general: un primer curso para físicos. — Revisado. - Prentice Hall , 1995. - ISBN 978-0-13-291196-2 .