Unión disjunta

La unión disjunta (también unión disjunta o suma disjunta ) es una operación de unión de conjuntos modificada en la teoría de conjuntos , que, informalmente, consiste en la unión de "copias" disjuntas de conjuntos. En particular, la unión disjunta de dos conjuntos finitos que consisten en y elementos contendrán exactamente elementos, incluso si los conjuntos se intersecan. $a$ $b$ $a+b$

Definición

Sea una familia de conjuntos listados por índices de . Entonces la unión disjunta de esta familia es el conjunto $\{A_i | yo \en yo\}$ $yo$

\bigsqcup _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}\{(x,i)|x\in A_{i}\}

Los elementos de una unión disjunta son pares ordenados . Por lo tanto, hay un índice que muestra desde qué conjunto el elemento entró en la unión. Cada uno de los conjuntos está incrustado canónicamente en la unión disyuntiva como un conjunto $(x, yo)$ $i$ $Ai}$ $Ai}$

A_i^* = \{(x,i) | x \en A_i\}.

Para conjuntos y no tienen elementos comunes, aunque . En el caso degenerado, cuando los conjuntos son iguales a algún determinado , la unión disjunta es el producto cartesiano del conjunto por el conjunto , es decir $\para todos i, j \in I: i \neq j$ $A_i^*$ $A_j^*$ $A_i \cap A_j \neq \varnada$ $A_i \para todos yo \en yo$ $A$ $A$ $yo$

\bigsqcup_{i\in I}A_{i}=A\times I.

Uso

A veces verá la notación para la unión disjunta de dos conjuntos, o lo siguiente para una familia de conjuntos: $A+B$

\sum_{i\in I}A_i.

Esta notación implica que la cardinalidad de la unión disyuntiva es igual a la suma de las cardinalidades de los conjuntos de la familia. A modo de comparación, el producto cartesiano tiene una potencia igual al producto de las potencias.

En la categoría de conjuntos, la unión disjunta es la suma directa . El término unión disjunta también se usa en relación con la unión de una familia de conjuntos disjuntos por pares. En este caso, la unión disjunta se denota como la unión habitual de conjuntos , coincidiendo con ella. Esta notación se encuentra a menudo en informática . Más formalmente, si es una familia de conjuntos, entonces $C$

\bigcup_{A \in C} A

es una unión disjunta en el sentido considerado anteriormente si y solo si para cualquiera y de la siguiente condición se cumple: $A$ $B$ $C$

A \neq B \implica A \cap B = \varnothing.

Variaciones y generalizaciones

Si todos los conjuntos de una unión disjunta están dotados de una topología, entonces la unión disjunta de espacios topológicos (es decir, conjuntos dotados de una topología) en sí misma tiene una topología natural: la topología más fuerte de modo que cada inclusión es un mapa continuo . Una unión disjunta con esta topología se denomina unión disjunta de espacios topológicos.

Véase también

Literatura

Aleksandryan R. A., Mirzakhanyan E. A. Topología general. - M. : Escuela Superior, 1979. - S. 132.
Spanier E. Topología algebraica . - M. : Mir, 1971. - S. 9 .
Melnikov O. V. et al. Álgebra general: en 2 volúmenes T. 1. - M. : Nauka, 1990. - P. 13. - ISBN 5020144266 .