Función racional

Una función racional, o una función racional fraccionaria, o una fracción racional es una función numérica que se puede representar como una fracción, cuyo numerador y denominador son polinomios . , es decir, una expresión algebraica , sin radicales puede reducirse a esta forma .

Formal definición

Una función racional [1] [2] , o una función racional fraccionaria [1] [3] , o una fracción racional [3] es una función numérica de la forma

\mathbb {U} \to \mathbb {U} :w=R(u),

donde son números complejos ( ) o reales ( ), es una expresión racional de . Una expresión racional es una expresión matemática compuesta por una variable independiente (compleja o real) y un conjunto finito de números (respectivamente complejos o reales) usando un número finito de operaciones aritméticas (es decir, suma , resta , multiplicación , división y elevación ). a una potencia entera ) [4 ] . ${\ estilo de visualización \ mathbb {U}}$ $\matemáticas {Z}$ $\matemáticas {R}$ ${\ estilo de visualización R (u)}$ $tu$

Una función racional se puede escribir (no de forma única) como una relación de dos polinomios y : ${\ estilo de visualización P (u)}$ ${\ estilo de visualización Q (u)}$

R(u)={\frac {P(u)}{Q(u)}}={\frac {a_{0}+a_{1}u+a_{2}u^{2}+ \cdots +a_{n}u^{n}}{b_{0}+b_{1}u+b_{2}u^{2}+\cdots +b_{m}u^{m}}},

donde Coeficientes de una función racional son los coeficientes de polinomios y : $Q(u)\no \equiv 0.$ ${\ estilo de visualización P (u)}$ ${\ estilo de visualización Q (u)}$

a_{0},a_{1},a_{2},\puntos,a_{n}

y [4] .

{\displaystyle b_{0},b_{1},b_{2},\puntos,b_{m))

Casos especiales

Toda una función racional es una función de la forma

\mathbb {R} \to \mathbb {R} :y={\frac {P(x)}{1)),

donde la variable es real.

X

Función lineal fraccionaria : la relación de dos funciones lineales de una variable compleja:

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=L(z)={\frac {az+b}{cz+d)).

Transformación de Cayley

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=W(z)={\frac {zi}{z+i)).

La función Zhukovsky es una función racional de una variable compleja

\mathbb {C} \to \mathbb {C} :w=\lambda (z)={\frac {1}{2}}\left(z+{\frac {1}{z}}\right ),

que tiene importantes aplicaciones en hidromecánica , descubierta por N. E. Zhukovsky [5] .

Generalizaciones

Funciones racionales de varias variables (complejas o reales)

\mathbb {U} ^{\max(n,m)}\to \mathbb {U} :w=R(u_{1},u_{2},\dots ,u_{\max(n, m)})={\frac {P(u_{1},u_{2},\puntos,u_{n})}{Q(u_{1},u_{2},\puntos,u_{m} )}},

donde [4] .

Q(u_{1},u_{2},\dots,u_{m})\no \equiv 0

Funciones racionales abstractas

R={\frac {A_{1}F_{1}+A_{2}F_{2}+\cdots +A_{n}F_{n}}{B_{1}F_{1}+B_ {2}F_{2}+\cdots +B_{m}F_{m}}},

donde es un sistema linealmente independiente de funciones continuas en algún espacio compacto , y son coeficientes numéricos [4] .

{\displaystyle F_{1},F_{2},\puntos,F_{\max(n,m)))

A_{1},A_{2},\puntos,A_{n},

{\displaystyle B_{1},B_{2},\puntos,B_{m))

Función racional real

Fracción racional irreducible

Una fracción racional irreducible es una fracción racional en la que el numerador es primo relativo al denominador [3] .

Cualquier fracción racional es igual a alguna fracción irreducible, que se determina hasta una constante común al numerador y al denominador. La igualdad de dos fracciones racionales se entiende en el mismo sentido que la igualdad de fracciones en matemáticas elementales [3] .

Prueba

Primero, demostramos que si el producto de polinomios y es divisible por , y y son coprimos, entonces es divisible por $f(x)$ $g(x)$ $\varfi(x)$ $f(x)$ $\varfi(x)$ $g(x)$ $\varfi(x)$ [6] .

1. Se sabe que los polinomios y son primos relativos si y solo si hay polinomios y tales que $f(x)$ $\varfi(x)$ $tu(x)$ $v(x)$

f(x)u(x)+\varphi(x)v(x)=1.

2. Multiplica esta igualdad por : $g(x)$

[f(x)g(x)]u(x)+g(x)[\varphi (x)v(x)]=g(x).

3. Ambos términos de esta igualdad son divisibles por , por lo tanto, también es divisible por . $\varfi(x)$ $g(x)$ $\varfi(x)$

Ahora, usando esto, probaremos que cualquier fracción racional es igual a alguna fracción irreducible, la cual está determinada hasta una constante común al numerador y al denominador [3] .

1. Cualquier fracción racional puede reducirse por el máximo común divisor de su numerador y denominador.

2. Además, si dos fracciones irreducibles son iguales:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))),

eso es

{\ estilo de visualización f (x) \ psi (x) = g (x) \ varphi (x).}

después:

de la simplicidad mutua se sigue que es divisible por ; $f(x)$ $g(x)$ $\varfi(x)$ $f(x)$
de la cosimplicidad se sigue que es divisible por . $\varfi(x)$ $\psi(x)$ $f(x)$ $\varfi(x)$

Como resultado, obtenemos que ${\ estilo de visualización f (x) = c \ varphi (x).}$

3. Sustituyendo la última expresión en la original, obtenemos:

c\varphi (x)\psi (x)=g(x)\varphi (x),

{\ estilo de visualización g (x) = c \ psi (x).}

Así que tenemos eso

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {c\varphi (x)}{c\psi (x))).

Fracción racional propia

Una fracción racional es propia si el grado del numerador es menor que el grado del denominador. El polinomio cero 0 es una fracción propia. Cualquier fracción racional se puede representar de forma única como la suma de un polinomio y una fracción propia [3] .

Prueba

Probemos la última afirmación [3] .

1. Para cualquier fracción racional , dividiendo el numerador por el denominador, obtenemos: ${\frac{f(x)}{g(x)))$

{\ estilo de visualización f (x) = g (x) q (x) + r (x),}

y el grado es menor que el grado .Dividiendo ambos lados de la igualdad por , obtenemos que una fracción racional es la suma de un polinomio y una fracción propia: $r(x)$ ${\ estilo de visualización g (x).}$ $g(x)$

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q(x)+{\frac {r(x)}{g(x))).

2. Probemos la unicidad de esta representación, si además se cumple la siguiente igualdad:

{\frac {f(x)}{g(x)}}=q'(x)+{\frac {\varphi (x)}{\psi (x))),

donde también el grado es menor que el grado , entonces restamos: $\varfi(x)$ ${\ estilo de visualización \ psi (x) (x)}$

q(x)-q'(x)={\frac {\varphi (x)}{\psi (x)}}-{\frac {r(x)}{g(x)))= {\frac {\varphi (x)g(x)-\psi (x)r(x)}{\psi (x)g(x))).

3. A la izquierda de la última igualdad hay un polinomio. Como el grado es menor que el grado , y el grado es menor que el grado , entonces a la derecha de la última igualdad hay una fracción propia, por lo tanto $\varfi(x)$ $\psi(x)$ $r(x)$ $g(x)$ $q(x)-q'(x)=0$

{\frac {\varphi (x)}{\psi (x)))-{\frac {r(x)}{g(x)))=0.

La fracción racional más simple

Una fracción racional propia es más simple si su denominador es el grado de un polinomio irreducible : ${\frac{f(x)}{g(x)))$ $g(x)$ $p(x)$

g(x)=p^{k}(x),k\geqslant 1,

y el grado del numerador es menor que el grado de . Hay dos teoremas [3] . $f(x)$ $p(x)$

Teorema principal. Cualquier fracción racional propia se descompone en una suma de fracciones simples.
Teorema de unicidad. Cualquier fracción racional propia tiene una expansión única en una suma de fracciones simples.

Descomposición de una fracción racional propia en una suma de fracciones simples

La expansión de una fracción racional propia en una suma de fracciones simples se usa en muchos problemas, por ejemplo:

al integrar [7] ;
cuando se expande en una serie de Taylor [8] ;
cuando se expande en una serie de Laurent [9] ;
al calcular la transformada inversa de Laplace de una fracción racional [10] .

Ejemplo

Ejemplo. Expande una fracción propia real en una suma de fracciones simples donde [3] : ${\frac{f(x)}{g(x)))),$

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3,

g(x)=x^{5}-2x^{3}+2x^{2}-3x+2.

Solución. 1. Es fácil comprobar que

g(x)=(x+2)(x-1)^{2}(x^{2}+1),

y son irreducibles. ${\ estilo de visualización x + 2,}$ ${\ estilo de visualización x-1,}$ ${\ estilo de visualización x^{2}+1}$

2. Usemos el método de los coeficientes indefinidos . Del teorema principal se deduce que la expansión deseada tiene la siguiente forma:

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {A}{x+2}}+{\frac {B}{(x-1)^{2}} }+{\frac {C}{x-1}}+{\frac {Dx+E}{x^{2}+1}}.

Queda por encontrar los números , y $A$ $b,$ ${\ estilo de visualización C,}$ $D$ $MI.$

3. Reduzcamos el proyecto de expansión a un común denominador, obtenemos:

f(x)=2x^{4}-10x^{3}+7x^{2}+4x+3=

{\ estilo de visualización = A (x-1) ^ {2} (x ^ {2} + 1) +}

{\ estilo de visualización + B (x + 2) (x ^ {2} + 1) +}

+C(x+2)(x-1)(x^{2}+1)+

+Dx(x+2)(x-1)^{2}+

{\ estilo de visualización + E (x + 2) (x-1) ^ {2}.}

Puedes obtener un sistema de cinco ecuaciones lineales con cinco incógnitas , e igualando los coeficientes a las mismas potencias de ambas partes de la última igualdad. Además, del teorema principal y del teorema de unicidad se sigue que este sistema de cinco ecuaciones tiene una solución única. $A$ $b,$ ${\ estilo de visualización C,}$ $D$ $MI,$ $X$

4. Usemos otro método. Suponiendo en la última igualdad obtenemos de donde Suponiendo que obtenemos que es Suponiendo independientemente y obtenemos el sistema ${\ estilo de visualización x = -2,}$ ${\ estilo de visualización 45A = 135,}$ ${\ estilo de visualización A = 3.}$ ${\ estilo de visualización x = 1,}$ ${\ estilo de visualización 6B = 6,}$ ${\ estilo de visualización B = 1.}$ $x=0$ ${\ estilo de visualización x = -1,}$

\left\{{\begin{matriz}{rcl}-2C+2E=-2,\\-4C-4D+4E=-8.\\\end{matriz}}\right.

De aquí Vamos a llegar El sistema surge ${\ estilo de visualización D = 1.}$ ${\ estilo de visualización x = 2,}$ ${\ estilo de visualización 20C+4E=-52.}$

\left\{{\begin{matriz}{rcl}-2C+2E=-2,\\20C+4E=-52,\\\end{matriz}}\right.

de donde ${\ estilo de visualización C = -2,}$ ${\ estilo de visualización E = -3.}$

{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {3}{x+2}}+{\frac {1}{(x-1)^{2}} }-{\ fracción {2}{x-1}}+{\ fracción {x-3}{x^{2}+1}}.

Propiedades

Cualquier expresión que se pueda obtener de variables usando cuatro operaciones aritméticas es una función racional. $x_1,\puntos,x_n$
El conjunto de funciones racionales es cerrado bajo las operaciones aritméticas y la operación de composición , y también es un cuerpo si los coeficientes de los polinomios pertenecen a algún cuerpo.

Fracciones propias

Cualquier fracción racional de polinomios con coeficientes reales puede representarse como la suma de fracciones racionales, cuyos denominadores son las expresiones ( - raíz real ) o (donde no tiene raíces reales), y el grado no es mayor que la multiplicidad de las raíces correspondientes en el polinomio . Sobre la base de este enunciado, se fundamenta un teorema sobre la integrabilidad de una fracción racional. Según él, cualquier fracción racional puede integrarse en funciones elementales, lo que hace que la clase de fracciones racionales sea muy importante en el análisis matemático. $(xa)^{k}$ $a$ $q(x)$ $(x^{2}+px+q)^{k}$ $x^{2}+px+q$ $k$ $q(x)$

Esto está relacionado con el método de extracción de la parte racional en la antiderivada de la fracción racional , que fue propuesto en 1844 por M. V. Ostrogradsky [11] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics , volumen 2, 1979 , st. 387.
↑ Privalov I. I. Introducción a la teoría de funciones de variable compleja, 2009 , p. 226.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Kurosh A. G. Curso de Álgebra Superior, 2021 , p. 161-165.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Mathematics , volumen 4, 1984 , st. 917-918.
↑ Enciclopedia Matemática , Vol. 2, 1979 , st. 426.
↑ Kurosh A. G. Curso de Álgebra Superior, 2021 , p. 141-142.
↑ Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I, 2019 , pág. 292-295.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funciones de una variable compleja, 1971 , p. 50-51.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funciones de una variable compleja, 1971 , p. 62-63.
↑ Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funciones de una variable compleja, 1971 , p. 125.
↑ M. Ostrogradski. De l'integration des fractionelles . — Bulletin de la classe physico-mathématique de l'Academie impériale des sciences de Saint-Petersbourg. - 1845. - vol. IV. — col. 145-167, 286-300.

Literatura

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funciones de una variable compleja. cálculo operacional. Teoría de la estabilidad. M.: Nauka, 1971. 255 p., 77 ilustraciones, bibl. 15 títulos.
Kurosh A. G. Un curso de álgebra superior: un libro de texto para universidades. 22ª ed., ster. San Petersburgo: Lan, 2021. 431 p.: il. ISBN 978-5-8114-6851-5 .
Enciclopedia matemática : cap. edición I. M. Vinogradov , volumen 2 D-Koo. M .: "Enciclopedia soviética", 1979. 1104 stb., Ill.
Enciclopedia matemática : cap. edición I. M. Vinogradov , volumen 4 Ok-Slo. M .: "Enciclopedia soviética", 1984. 1216 stb., Ill.
Privalov II Introducción a la teoría de funciones de una variable compleja: libro de texto. 15ª ed., ster. San Petersburgo: Lan, 2009. 432 p.: il. ISBN 978-5-8114-0913-6 .
Zorich V. A. Análisis matemático. Parte I. 10ª ed., Rev. M.: MTsNMO, 2019. xii + 564 p., il. 65, biblia. 54 títulos 978-5-4439-4029-8, 978-5-4439-4030-4 (parte I).