Borde (geometría)


Tres aristas AB, BC y CA, cada una conectando dos vértices de un triángulo .
Un polígono delimitado por aristas (en este caso, un cuadrado con 4 aristas).

Cada arista es compartida por dos caras de un poliedro , en este caso, un cubo .
Cualquier borde es compartido por tres o más caras de un poliedro de cuatro dimensiones , como se ve en esta proyección del teseracto .

Una arista en geometría  es un segmento que conecta dos vértices de un polígono o poliedro (en dimensiones 3 y superiores) [1] . En los polígonos, una arista es un segmento que se encuentra en el límite [2] y suele denominarse lado del polígono. En poliedros tridimensionales y en poliedros de mayor dimensión, una arista es un segmento común a dos caras [3] . Un segmento que conecta dos vértices y pasa por puntos internos o externos no es un borde y se llama diagonal .

Conexión con los bordes del gráfico

Cualquier poliedro se puede representar por su esqueleto de aristas , es decir, un grafo cuyos vértices son los vértices geométricos del poliedro, y las aristas del grafo corresponden a las aristas geométricas [4] . Y viceversa, los grafos que son esqueletos de politopos tridimensionales según el teorema de Steinitz  son lo mismo que los grafos planos conectados por vértice-k [5] .

Número de aristas en un poliedro

Cualquier superficie de un poliedro convexo tiene la característica de Euler

donde  es el número de vértices ,  es el número de aristas y  es el número de caras . Esta igualdad se conoce como fórmula de Euler. Por tanto, el número de aristas es 2 menos que la suma del número de vértices y caras. Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices y 6 caras, y por tanto (según la fórmula) 12 aristas.

Incidencia a otras caras

En un polígono, dos aristas (lados) convergen en cada vértice. Según el teorema de Balinsky , al menos las aristas convergen en cada vértice de un poliedro convexo bidimensional [6] . De manera similar, en un politopo 3D, exactamente dos caras 2D comparten una arista [7] , mientras que en poliedros de mayor dimensión, tres o más caras 2D pueden compartir una arista común.

Terminología alternativa

En la teoría de los poliedros convexos de alta dimensión (por encima de 3), una faceta (un lado de un poliedro dimensional) es una cara dimensional. Así, las aristas (lados) de un polígono también son facetas (para poliedros tridimensionales, las caras serán facetas) [8] .

Véase también

Notas

  1. ↑ Ziegler, 1995 , pág. 51, Definición 2.1.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. "Polygon Edge". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolygonEdge.html Archivado el 26 de julio de 2020 en Wayback Machine .
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Polytope Edge". De MathWorld: un recurso web de Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/PolytopeEdge.html Archivado el 24 de mayo de 2016 en Wayback Machine .
  4. ↑ Sénechal, 2013 , pág. 81.
  5. ↑ Pisanski, Randic, 2000 , pág. 174–194.
  6. ↑ Balinski, 1961 , pág. 431–434.
  7. ↑ Wenninger, 1974 , pág. una.
  8. ↑ Seidel, 1986 , pág. 404–413.

Literatura

Enlaces