Función beta

En matemáticas , la función beta ( función - , función beta de Euler o integral de Euler de primera especie) es la siguiente función especial de dos variables: $\mathrm{B}$

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt,

definido en , . ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} x> 0}$ ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Re} y> 0}$

La función beta fue estudiada por Euler , Legendre[ ¿cuándo? ] , y el nombre se lo dio Jacques Binet .

Propiedades

La función beta es simétrica con respecto a la permutación de variables, es decir

\mathrm {B} (x,y)=\operatorname {\mathrm {B} } (y,x).

La función beta se puede expresar en términos de otras funciones:

\mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y))),

donde está la función gamma ; $\gamma (x)$

\mathrm {B} (x,y)=2\int \limits _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)=\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y }}}\,dt,\quad \operatorname {Re} x>0,\ \operatorname {Re} y>0;

\mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum _{n=0}^{\infty}(-1)^{n}{\frac {( y)_{n+1}}{n!(x+n)}},

donde es el factorial descendente igual a . $(x)_{n}$ $x\cdot (x-1)\cdot (x-2)\cdot \ldots \cdot (x-n+1)$

Así como la función gamma para números enteros es una generalización de factorial , la función beta es una generalización de coeficientes binomiales con parámetros ligeramente modificados:

{\binom {n}{k}}={\frac {1}{(n+1)\mathrm {B} (n-k+1,k+1))).

La función beta satisface la ecuación de diferencia bidimensional :

\mathrm {B} (x,y)-\mathrm {B} (x+1,y)-\mathrm {B} (x,y+1)=0.

Derivados

Las derivadas parciales de la función beta son las siguientes:

{\frac {\parcial}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(x) }{\Gamma (x)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (x)-\psi (x+y){\grande)},

{\frac {\parcial}}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\frac {\Gamma '(y) }{\Gamma (y)))-{\frac {\Gamma '(x+y)}{\Gamma (x+y)))\right)=\mathrm {B} (x,y){\big (}\psi (y)-\psi (x+y){\grande)},

donde está la función digamma . $\psi(x)$

Función beta incompleta

Una función beta incompleta es una generalización de la función beta que reemplaza la integral de intervalo con una integral con un límite superior variable: $[0, 1]$