Resolución de ecuaciones integrales

Considere la ecuación integral :

f(s)+\lambda\int\limits_a^b K(s,\;t)\varphi(t)\,dt=\varphi(s).\qquad(*)

El resolvente de la ecuación integral , o su kernel de resolución , es tal función de variables y parámetro , que la solución de la ecuación (*) se representa como: $\Gamma(s,\;t,\;\lambda)$ $s$ $t$ $\lambda$

u^*(s)=f(s)+\lambda\int\limits_a^b\Gamma(s,\;t,\;\lambda)f(t)\,dt.

No debe ser un valor propio de la ecuación (*). $\lambda$

Ejemplo

Deje que la ecuación (*) tenga un núcleo , es decir, la ecuación en sí tiene la forma: $K(s,\;t)=s+t$

\varphi (s)+\lambda \int \limits _{0}^{1}(s+t)\varphi (t)\,dt=f(s).

Entonces su resolución es la función

\Gamma (s,\;t,\;\lambda)={\frac {s+t+\lambda \left({\dfrac {s+t}{2}}+st+{\dfrac {1} {3}}\right)}{1+\lambda -{\dfrac {\lambda ^{2}}{12}}}}.

Resolución de un operador lineal

Sea un operador lineal . Entonces su resolvente es una función con valor de operador [1] $A$

{\ Displaystyle R (z) = (A-zE) ^ {-1))

donde es el operador identidad , y es un número complejo, del conjunto resolvente, es decir, un conjunto tal que hay un operador acotado $mi$ $z$ $R(z)$

Este concepto se utiliza para resolver la ecuación de Fredholm no homogénea de segundo tipo .

Notas

↑ Una función con valor de operador es una función cuyo valor es un operador.

Véase también

Espectro del operador