Solitón de ricci

Ricci-soliton es una solución al flujo de Ricci en el que el espacio no cambia o cambia solo cambiando la escala. Nombrado en honor a Gregorio Ricci-Curbastro .

Las variedades de Einstein son el ejemplo más simple de los solitones de Ricci, para los cuales la parametrización obtenida del flujo de Ricci es constante.

En general, el flujo de Ritchie define una familia de difeomorfismos de un parámetro en una variedad obtenida integrando algún campo vectorial que satisface la ecuación $X$

\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+{\mathcal {L}}_{X}g_{0},

donde es el tensor de curvatura de Ricci , y es la derivada de Lie . Si , entonces la condición se convierte en la condición de Einstein ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Rc}}$ $\mathcal{L}$ ${\ estilo de visualización X = 0}$

Tipos

Si el campo es un gradiente de alguna función , entonces el solitón se llama gradiente . En este caso, la ecuación toma la forma $X=\nabla f$ $F$ $\operatorname {Rc} (g_{0})=\lambda \cdot g_{0}+\mathrm {Hess} f,$

y la función en sí se llama potencial de solitón .

F

Cuando el solitón se llama estacionario , en este caso la solución existe en todos los pramas reales y no cambia geométricamente en el tiempo; solo puede cambiar la parametrización de una variedad fija. ${\ estilo de visualización \ lambda = 0}$
Cuando el solitón se contrae , la solución se puede determinar en el haz . ${\ estilo de visualización \ lambda > 0}$ $(-\infty,0)$
Cuando el solitón se expande , la solución se puede determinar en el haz . ${\ estilo de visualización \ lambda <0}$ ${\ estilo de visualización (0, \ infinito)}$

Propiedades

Para cualquier cono sobre una esfera con una métrica de operador de curvatura de Riemann, existe un único solitón de Ricci de gradiente en expansión , tal que converge a Gromov-Houstroff en . [una] $C$ ${\ estilo de visualización \ geq 1}$ ${\ Displaystyle M^{t}}$ ${\ Displaystyle M^{t}}$ $C$ ${\ estilo de visualización t \ a 0}$

Para cualquier solitón gradiente con potencial , la identidad $F$ $2\cdot \mathrm {Rc} (\nabla f)+\nabla \mathrm {R} =0,$

donde denota el tensor de Ricci , y es la curvatura escalar .

\mathrm {Rc}

{\ matemáticas {R}}

Ejemplos

El espacio Eulidiano es un solitón de Ricci degradado; el potencial puede ser cualquier función proporcional al cuadrado de la distancia al punto fijo; Dependiendo de la elección del coeficiente de proporcionalidad, se puede obtener un solitón estacionario, en contracción y también en expansión.
Plano con métrica $\matemáticas {R} ^{2}$ $ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}}$

es un solitón gradiente estacionario con potencial . Este es el llamado cigarro Hamilton .

f=-\ln(1+x^{2}+y^{2})

Notas

↑ arXiv : 1502.07921

Literatura

arXiv : 0908.2006
Chow, Bennett, Peng Lu y Lei Ni. Flujo de Ricci de Hamilton. — Sociedad Matemática Estadounidense, 2006.