Múltiple de Einstein

Una variedad de Einstein es una variedad riemanniana o pseudo-riemanniana cuyo tensor de Ricci es proporcional al tensor métrico .

Esta condición se cumple para las soluciones de las ecuaciones de Einstein con una constante cosmológica posiblemente distinta de cero , pero en general, la dimensión de la variedad de Einstein y su firma pueden ser arbitrarias; no tienen que ser las variedades de Lorentz de cuatro dimensiones estudiadas en relatividad general .

Nombrado en honor a Albert Einstein .

Definición

Una variedad de Riemann es una variedad de Einstein si

\mathrm {Ric} =k\cdot g

para alguna constante , donde denota el tensor de Ricci y es el tensor métrico . $k$ $\mathrm {Ric}$ $gramo$

En el caso, tal variedad también se llama Ricci-plana . $k=0$
La ecuación de Einstein con la constante cosmológica es la siguiente $\lambda$ $R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =8\cdot \pi \cdot T_{ab},$

en el vacío , el tensor de energía-momento es cero. Entonces la ecuación se reduce a

{\ Displaystyle T_ {ab}}

R_{ab}-{\tfrac {1}{2}}\cdot g_{ab}\cdot R+g_{ab}\cdot \Lambda =0,

que se puede reescribir como

R_{ab}={\frac {2\cdot \Lambda}{n-2}}\cdot g_{ab}.

Es decir, para la constante cosmológica tenemos .

\lambda

k={\tfrac {2\cdot\Lambda}{n-2))

Cualquier variedad de curvatura seccional constante; En particular:
- El espacio euclidiano es plano y, por lo tanto, plano de Ricci y, en particular, una variedad de Einstein.
- Esfera unitaria , de Einstein . ${\ matemáticas {S}}^{n}$ ${\ estilo de visualización k = n-1}$
- El espacio de Lobachevsky es einsteiniano con negativo . $k$
Espacios proyectivos complejos, con la métrica de Fubini-Study . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$
El espacio de Calabi-Yau Ricci es plano y en particular es una variedad de Einstein.

la desigualdad de Hitchin-Thorpe es una condición topológica necesaria para la existencia de la métrica de Einstein envariedad tetradimensional cerrada y orientada.