Una serie de subgrupos

En matemáticas , una serie de subgrupos es una cadena de subgrupos de la forma . Las series de subgrupos pueden simplificar el estudio de un grupo reduciéndolo al estudio de los subgrupos de este grupo y al estudio de las relaciones entre ellos. Las series de subgrupos pueden formar importantes invariantes de un grupo dado . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G$ $\displaystyle G$ $\displaystyle G$

Definición

Serie normal, serie subnormal

Una serie subnormal (también llamada torre subnormal , serie subinvariante , matryoshka subnormal o simplemente serie ) de un grupo es una secuencia de subgrupos $\displaystyle G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

cada uno de los cuales es un subgrupo normal del subgrupo más grande que le sigue inmediatamente, es decir, . Si, además, cada uno de los subgrupos es normal en el grupo , entonces se dice que la serie es normal . $\displaystyle G_{i}\triangleleft G_{{i+1}}$ $Soldado americano}}$ $\displaystyle G$

Los grupos de factores se denominan grupos de factores en serie . $G_{i+1}/G_{i}$

Longitud de fila

Una serie con una propiedad adicional para todos se llama serie sin repeticiones . La longitud de la serie es el número de inclusiones propias . Si la serie no tiene repeticiones, entonces su longitud es . $\displaystyle G_{i}\neq G_{{i+1}}$ $\ estilo de visualización yo$ $\displaystyle G_{i}\varsubsetneq G_{{i+1}}$ $\displaystyle n$

Para una serie subnormal, su longitud es el número de grupos de factores no triviales de la serie. Todo grupo no trivial tiene una serie subnormal de longitud 1, a saber, la serie . Cada subgrupo normal propio define una serie subnormal de longitud 2. Para grupos simples, una serie trivial de longitud 1 es la única serie subnormal posible. $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Rangos ascendentes y descendentes

Los rangos de los subgrupos se pueden escribir en orden ascendente

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{n}=G,

o en orden descendente

G=G_{0}\supseteq G_{1}\cdots \supseteq G_{n}=\{1\}.

Para la serie final, no hay diferencia en la forma en que se escribe: como una serie ascendente o descendente. Sin embargo, para una serie infinita, ya existe una diferencia: la serie ascendente tiene el elemento más pequeño, el elemento que le sigue inmediatamente, luego el siguiente, y así sucesivamente, pero no puede tener un elemento máximo que no sea . Una serie descendente , por el contrario, tiene un elemento más grande, pero no puede tener un elemento más pequeño que no sea . $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G,$ $\displaystyle G$ $G=G_{0}\supseteq G_{1}\supseteq \cdots \supseteq \{1\}$ $\ estilo de visualización \ {1 \}$

Grupos noetherianos y artinianos

Un grupo que satisface la condición de cadena ascendente se llama noetheriano . Esta condición significa que para tal grupo no existe una cadena infinita de subgrupos crecientes con respecto a la relación de inclusión. En consecuencia, un grupo que satisface la condición de terminación de la cadena descendente se denomina artiniano ; esta terminología es análoga a la separación de los anillos artiniano y noetheriano .

Un grupo puede o no ser noetheriano, un ejemplo es el grupo aditivo de enteros . A diferencia de los anillos, un grupo puede o no ser artiniano, siendo un ejemplo el grupo Prufer .

Los grupos de factores y los subgrupos de los grupos noetherianos son noetherianos. Además, una extensión de un grupo noetheriano por un grupo noetheriano es un grupo noetheriano (es decir, si un grupo dado tiene un subgrupo normal noetheriano cuyo grupo cociente es noetheriano, entonces el grupo mismo es noetheriano). Declaraciones similares son ciertas para los grupos artinianos.

La condición para que un grupo sea noetheriano también es equivalente a la condición de que cualquier subgrupo de un grupo dado se genere finitamente .

Series infinitas y transfinitas

Las series infinitas de subgrupos se definen de forma natural: en este caso, es necesario fijar algún conjunto de índices linealmente ordenados infinitos . Una serie ascendente , para la cual el conjunto índice es el conjunto de números naturales, a menudo se denomina simplemente serie ascendente infinita . Si los subgrupos de la serie se numeran con números ordinales , entonces se obtiene una serie transfinita , [1] por ejemplo, la serie $\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G$

\{1\}=G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G_{\omega }\subseteq G_{{\omega +1}}=G.

Si se da una fórmula recursiva para los elementos de una serie, entonces se puede determinar una serie transfinita usando la recursividad transfinita . Además, en los números ordinales limitantes, los elementos de la serie transfinita ascendente vienen dados por la fórmula

G_{\lambda}=\bigcup_{{\alfa <\lambda}}G_{\alfa},

y los elementos de la serie transfinita descendente por la fórmula

G_{\lambda }=\bigcap _{{\alpha <\lambda }}G_{\alpha }.

Otros conjuntos ordenados linealmente rara vez aparecen como conjuntos de indexación en series de subgrupos. Por ejemplo, se puede considerar una serie infinita de subgrupos de dos caras, indexada por números enteros:

\{1\}\subseteq \cdots \subseteq G_{{-1}}\subseteq G_{0}\subseteq G_{1}\subseteq \cdots \subseteq G.

Comparaciones de filas

La compactación de una serie de subgrupos es otra serie de subgrupos que contiene cada elemento de la serie original. La noción de compactación define un orden parcial sobre el conjunto de filas de subgrupos de un grupo dado, las filas de subgrupos forman una red con respecto a tal ordenación, y las series subnormales y normales forman subredes de esta red. De particular interés son, en cierto sentido, las series máximas sin repeticiones.

Se dice que dos series subnormales son equivalentes o isomorfas si existe una aplicación biyectiva que conecta los conjuntos de sus grupos de factores de modo que los grupos de factores correspondientes sean isomorfos.

Rangos máximos

Una serie de composición es una serie subnormal máxima.

En la clase de series subnormales finitas, la maximalidad significa que cada grupo de factores es simple , es decir, una serie de composición finita es una serie subnormal finita con grupos de factores simples .

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}

En la clase de series subnormales transfinitas ascendentes, la maximalidad está relacionada con la noción de supersimplicidad transfinita [1] (hipertranssimplicidad).

El grupo se llama transfinitamente supersimple. $\displaystyle G$ si no tiene series subnormales ascendentes sin repeticiones (finitas o transfinitas) distintas de las series triviales . $\{1\}=G_{0}\varsubsetneq G_{1}=G$

Una serie subnormal transfinita ascendente es una serie de composición si todos sus grupos de factores son supersimples transfinitos. $\displaystyle G_{{i+1}}/G_{i}$

Temas abiertos

Todo grupo transfinitamente supersimple es simple. Es decir, la clase de grupos transfinitamente supersimples constituye una subclase en la clase de grupos simples. Queda abierta la cuestión de la coincidencia o no coincidencia de estas clases. Se requiere construir un ejemplo de un grupo simple que no sea transfinitamente supersimple, o probar que tales grupos no existen.

Referencias

↑ 1 2 Sharipov, RA (2009), Serie transfinita normal y de composición de grupos, arΧiv : 0908.2257 [math.GR].