Extensión separable

Una extensión separable es una extensión algebraica del campo que consta de elementos separables, es decir, elementos tales que el aniquilador mínimo sobre el cual no tiene raíces múltiples. Por lo tanto, la derivada debe ser un polinomio distinto de cero. Por definición, todos los campos de característica 0 son separables, por lo que la noción de separabilidad no es trivial solo para campos de característica distinta de cero . $E \supset K$ $\alfa$ $f(x)$ $k$ $f'(x)$ $pags$

Para extensiones finitas , se cumple la siguiente afirmación: si , donde es la clausura algebraica del campo , entonces es separable si y solo si el número de diferentes isomorfismos del campo en la clausura algebraica es igual al grado de . En el caso de extensiones no separables, este número es un divisor y se llama potencia separable (el cociente es igual a alguna potencia de la característica). $K \subconjunto E \subconjunto K^*$ $K^{*}$ $k$ $mi$ $\sigma$ $mi$ $K^{*}$ $k$ $[E:K]$ $[E:K]$ $[E:K]_s$

Propiedades de las extensiones separables

Si las extensiones y son separables, entonces la extensión también es separable. Por el contrario, si son separables, entonces y son separables. $E \supseteq K$ $F \supseteq E$ $F \supseteq K$ $F \supseteq K$ $E \subseteq K$ $F \subseteq E$

Si la extensión es separable, entonces para cualquier extensión (si están contenidas en algún campo) el compuesto de campos es una extensión separable . $E \supseteq K$ $F \supseteq K$ $F$ $mi$ $FE$ $k$

El teorema del elemento primitivo : si , donde es algebraico (aunque no necesariamente separable) sobre , y son algebraicos y separables, entonces existe un elemento (llamado elemento primitivo) tal que . $E=K(\alfa_1, \alfa_2, \puntos, \alfa_n)$ $\alpha_{1}$ $k$ $\alpha_2, \puntos, \alpha_n$ $\ theta$ $E=K(\theta)$

Generalización de separabilidad a extensiones no algebraicas

Una extensión se llama linealmente libre de si cualquier conjunto finito de elementos linealmente independientes sobre permanece linealmente independiente sobre . Esta definición es simétrica: si es linealmente libre de over , entonces viceversa, linealmente libre de over . $E \supseteq K$ $L \supseteq K$ $mi$ $k$ $L$ $mi$ $L$ $k$ $L$ $mi$ $k$

Se dice que una extensión (no necesariamente algebraica) sobre un campo es separable si, para algún natural, es linealmente libre de una extensión generada al sumar todas las raíces del grado de los elementos . Para extensiones algebraicas, esta definición es equivalente a la habitual. Esta definición no depende de la elección del número y es equivalente a la libertad lineal del compuesto de todos ( criterio de McLane ). $mi$ $k$ $metro$ $K^{p^{-m}}$ $pag^{m}$ $k$ $metro$ $mi$ $K^{p^{-\infty}}$ $K^{p^{-m}}$

Literatura

Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Álgebra conmutativa. - M. : Literatura extranjera, 1963. - T. 1.
Leng S. Álgebra. — M .: Mir, 1967.