Ecuaciones de hamilton

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 4 de septiembre de 2020; las comprobaciones requieren 5 ediciones .

Las ecuaciones de Hamilton (también llamadas ecuaciones canónicas ) en física y matemáticas : un sistema de ecuaciones diferenciales :

{\dot {p}}_{j}=-{\frac {\parcial H}{\parcial q_{j}}},

{\dot {q}}_{j}=~~{\frac {\parcial H}{\parcial p_{j}}},

donde el punto de arriba y denota la derivada del tiempo . El sistema consta de 2 N ecuaciones diferenciales de primer orden ( j = 1, 2, …, N) para un sistema dinámico descrito por N coordenadas (generalizadas), que son ecuaciones de movimiento (una de las formas de tales ecuaciones, junto con las ecuaciones de Lagrange , que es una generalización del movimiento de las ecuaciones newtonianas) del sistema, donde está la llamada función hamiltoniana , también denominada a veces hamiltoniana , es el tiempo [1] , son coordenadas (generalizadas) y son las funciones generalizadas impulsos que determinan el estado del sistema (un punto en el espacio de fase ). $pags$ $q$ $H=H(q,p,t)\equiv H(q_{1},q_{2},...,q_{N},p_{1},p_{2},...,p_{N },t)$ $t$ $q_{yo}$ $(q_{1},q_{2},\puntos,q_{N})$ $Pi}$ $(p_{1},p_{2},\puntos,p_{N})$

Las ecuaciones de Hamilton se utilizan ampliamente en la mecánica hamiltoniana y en otras áreas de la física teórica y las matemáticas.

Significado físico newtoniano

La interpretación más simple de estas ecuaciones es la siguiente. En los casos más simples, el hamiltoniano representa la energía de un sistema físico, que es la suma de las energías cinética y potencial , tradicionalmente denotadas y respectivamente: $H$ $T$ $V$

H=T+V,~T={\frac {p^{2}}{2m)),~V=V(q)=V(x).

En un caso especial, si son las coordenadas cartesianas de cada punto material del sistema, escritas seguidas de tres en tres (nos referiremos aquí al espacio físico como uno tridimensional ordinario), es decir ${\ estilo de visualización q = X}$

X_{1}=x_{1},\;X_{2}=y_{1},\;X_{3}=z_{1},\ \ X_{4}=x_{2},\ ;X_{5}=y_{2},\;X_{6}=z_{2},\;\puntos,

entonces las ecuaciones canónicas de Hamilton coinciden, dado el párrafo anterior, con las ecuaciones de movimiento de Newton en la forma:

{\dot {\vec {P}}}=-\nabla V,

{\dot {\vec {X}}}={\vec {p}}/m,

donde , y cada subespacio da el radio vector del punto material correspondiente: ${\vec X}=(X_{1},X_{2},\puntos,X_{N})$

{\vec {r}}_{1}=(X_{1},X_{2},X_{3}),\ {\vec {r}}_{2}=(X_{4} ,X_{5},X_{6}),\;\puntos ,

y los momentos generalizados son los componentes correspondientes de los momentos tridimensionales de este punto:

{\vec p}_{1}=(P_{1},P_{2},P_{3}),\ {\vec p}_{2}=(P_{4},P_{5},P_ {6}),\;\puntos

Interpretación fundamental

La función de Hamilton es esencialmente una ley de dispersión local que expresa la frecuencia cuántica (frecuencia de oscilaciones de la función de onda) en términos del vector de onda para cada punto en el espacio [2] : $\omega$ ${\matemáticas k}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

En la aproximación clásica (a altas [3] frecuencias y módulo de vector de onda y una dependencia relativamente lenta de ), esta ley describe claramente el movimiento de un paquete de ondas a través de ecuaciones canónicas de Hamilton, algunas de las cuales ( ) se interpretan como una velocidad de grupo fórmula obtenida de la ley de dispersión, y otros ( ) son bastante naturales, como un cambio (en particular, la rotación) del vector de onda durante la propagación de la onda en un medio no homogéneo de cierto tipo. ${\matemáticas x}$ ${\dot q}_{i}=\parcial H/\parcial p_{i}$ ${\punto p}_{i}=-\parcial H/\parcial q_{i}$

Derivación de las ecuaciones de Hamilton

Derivación del principio de acción estacionaria

A partir del principio de mínima acción (estacionaria) , las ecuaciones de Hamilton se obtienen directamente variando la acción

S=\int \limits_{{t_{1}}}^{{t_{2}}}{\bigg (}\sum_{i}p_{i}{\dot q}_{i}-H (q,p,t){\bigg)}dt

independientemente de y en . $q$ $pags$

Derivación de la mecánica lagrangiana

Podemos derivar las ecuaciones de Hamilton utilizando información sobre cómo cambia el lagrangiano con el tiempo, las coordenadas y el momento de la partícula.

{\mathrm {d}}L=\sum _{i}\left({\frac {\parcial L}{\parcial q_{i}}}{\mathrm {d}}q_{i}+{\frac {\parcial L}{\parcial {{\dot q}_{i)))){\mathrm {d}}({\dot q}_{i}}\right)+{\frac {\parcial L }{\t parcial}}{\mathrm {d}}t

los momentos generalizados se definen como , y las ecuaciones de Lagrange dicen: $p_{i}={\frac {\parcial L}{\parcial {{\dot q}_{i))))$

{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\parcial L}{\parcial {{\dot {q}}_{i}}}}-{ \frac {\parcial L}{\parcial q_{i}}}=F_{i},

donde es una fuerza generalizada no potencial. La última expresión se convierte a la forma $F_{yo}$

{\frac {\parcial L}{\parcial q_{i))}={\dot {p))_{i}-F_{i},

y el resultado se sustituye en la variación del Lagrangiano

\mathrm {d} L=\sum _{i}\left[\left({\dot {p}}_{i}-F_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +p_{i}\mathrm {d} {{\dot {q}}_{i}}\right]+{\frac {\parcial L}{\parcial t}}\mathrm {d} t.

Puedes escribir:

{\mathrm {d}}L=\sum_{i}\left[\left({{\dot p}}_{i}-F_{i}\right){\mathrm {d}}q_{i }+{\mathrm {d}}\left(p_{i}{{\dot q}_{i}}\right)-{{\dot q}_{i}}{\mathrm {d}}p_ {i}\right]+{\frac {\parcial L}{\parcial t}}{\mathrm {d}}t

y convertido a la forma:

\mathrm {d} \left(\sum_{i}p_{i}({\dot {q))_{i}}-L\right)=\sum_{i}\left[\ izquierda(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i}+({\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_ {i}\right]-{\frac {\parcial L}{\parcial t))\mathrm {d} t.

El factor del lado izquierdo es simplemente el hamiltoniano, que se definió anteriormente. De este modo:

\mathrm {d} H=\sum _{i}\left[\left(F_{i}-{\dot {p}}_{i}\right)\mathrm {d} q_{i} +{{\dot {q}}_{i}}\mathrm {d} p_{i}\right]-{\frac {\parcial L}{\parcial t}}\mathrm {d} t=\sum _{i}\left[{\frac {\parcial H}{\parcial q_{i))}\mathrm {d} q_{i}+{\frac {\parcial H}{\parcial p_{i)) }\mathrm {d} p_{i}\right]+{\frac {\H parcial}{\t parcial))\mathrm {d} t,

donde la segunda igualdad se cumple debido a la definición de la derivada parcial.

Generalización a través de corchetes de Poisson

Las ecuaciones se pueden escribir en una forma más general usando el álgebra de Poisson sobre los generadores y . En este caso, la forma más general de las ecuaciones de Hamilton dice: $pags$ $q$

{\frac {dA}{dt}}=\{A,H\}+{\frac {\parcial A}{\parcial t)),

donde , llamado observable clásico, es alguna función de las variables , y , y es el hamiltoniano del sistema. Puede trabajar con corchetes de Poisson sin recurrir a ecuaciones diferenciales, ya que los corchetes de Poisson son completamente análogos a los corchetes de Lie en el álgebra de Poisson. $A$ $pags$ $q$ $t$ $H$

Este enfoque algebraico nos permite usar la distribución de probabilidad para y , también nos permite encontrar cantidades conservadas (integrales de movimiento). $q$ $pags$

Las ecuaciones de Hamilton se encuentran entre las ecuaciones fundamentales de la mecánica clásica. En mecánica cuántica , el análogo de la ecuación de Hamilton reducida es la ecuación de Heisenberg .

Véase también

Notas

↑ La función de Hamilton, en términos generales, puede depender explícitamente del tiempo, aunque en muchos casos fundamentales no existe tal dependencia.
↑ Dado que la energía y el momento son la frecuencia y el vector de onda, difieren de ellos solo por un factor constante universal, que se puede elegir para que sea la unidad en un sistema de unidades adecuado.
↑ Dado que la conexión entre energía y frecuencia, momento y vector de onda en los sistemas ordinarios de unidades incluye la constante de Planck , que es muy pequeña en estos sistemas ordinarios de unidades, las energías y los momentos muy grandes corresponden a los habituales de la mecánica clásica (en comparación con las escalas espacial y temporal) frecuencias y vectores de onda.

Literatura

Vilazi G. Dinámica hamiltoniana. traduccion del ingles M.: IKI i RHD, 2006. 432p. ISBN 5-93972-444-2
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica. - 5ª edición, estereotipada. — M .: Fizmatlit , 2001. — 222 p. - (" Física Teórica ", Tomo I). - ISBN 5-9221-0055-6 .
Leach JW Mecánica clásica. M.: Extranjero. literatura, 1961.
D. ter Haar. Fundamentos de la mecánica hamiltoniana. Moscú: Nauka, 1974.
Polak L. S. (ed.) Principios variacionales de la mecánica. Colección de artículos de los clásicos de la ciencia. Moscú: Fizmatgiz, 1959