Forma diferencial

La forma diferencial de la orden , o forma- , es un campo tensorial sesgado simétrico de tipo en la variedad . $k$ $k$ $(0,k)$

Las formas diferenciales fueron introducidas por Eli Cartan a principios del siglo XX.

El formalismo de formas diferenciales resulta conveniente en muchas ramas de la física y las matemáticas teóricas, en particular, en mecánica teórica, geometría simpléctica , teoría cuántica de campos .

El espacio de formas en una variedad generalmente se denota por . $k$ $METRO$ $\Omega^{k}(M)$

Definiciones

Invariante

En geometría diferencial, una forma diferencial de grado , o simplemente -forma , es una sección uniforme de , es decir, el grado exterior del haz cotangente de la variedad. En particular, $k$ $k$ $\cuña ^{k}T^{*}M$ $k$

el valor de la forma en un conjunto de piezas de campos vectoriales tangentes es una función en la variedad. $k$ $k$
el valor de la forma en un punto de la variedad es un funcional lineal sesgado simétrico en . $k$ $X$ $k$ $T_{x}M$

A través de mapas locales

$k$ -form on será una expresión de la siguiente forma $\mathbb{R} ^{n}$

\omega =\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}}f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k} }}(x^{1},\ldots,x^{n})\,dx^{{i_{1}}}\cuña dx^{{i_{2}}}\cuña \ldots \cuña dx^ {{i_{k}}}

donde son funciones suaves, es el diferencial de la coordenada th (una función de un vector que devuelve su coordenada con número ), y es el producto exterior . Al cambiar las coordenadas, esta vista cambia de forma. $f_{{i_{1}i_{2}\ldots i_{k}}}$ $dx^{i}$ $i$ $x^yo$ $i$ $\cuña$

En una variedad suave, las formas k se pueden definir como formas en los mapas que son consistentes a través de los encolados (para una definición precisa de consistencia, consulte variedad ).

Definiciones relacionadas

Para una forma , su diferencial externo (también solo diferencial ) es una forma, en coordenadas que tienen la forma $k$ $\omega$ $(k+1)$ $d\omega =\sum_{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\ldots <i_{k}\leqslant n}{\frac {\parcial f_{i_{1}i_{2 }\ldots i_{k))}{\parcial x^{j}}}(x^{1},\dots,x^{n})\,dx^{j}\dx dx^{i_{1 }}\cuña dx^{i_{2}}\cuña \ldots \cuña dx^{i_{k}}$

para una definición invariante del diferencial , es necesario definir el diferencial de funciones, es decir, -formas, luego el diferencial de -formas, después de lo cual el diferencial continúa a formas arbitrarias según -linealidad y la regla graduada de Leibniz : ${\ estilo de visualización 0}$ $una$ $R$
- $dF(v)=v(F)$ — el valor de la diferencial de la función sobre el campo vectorial tangente es la derivada de la función a lo largo del campo .
- $d\omega (u,v)=u(\omega (v))-v(\omega (u))-\omega ([u,v])$ - el valor del diferencial de la forma en un par de campos vectoriales es la diferencia de los valores derivados de la forma en un campo con respecto al otro, corregido por el valor de la forma en el
conmutador . $una$
$\ d(\omega ^{k}\cuña \vartheta ^{p})=(d\omega ^{k})\cuña \vartheta ^{p}+(-1)^{{k}}\omega ^ {k}\cuña (d\vartheta ^{p})$ donde los superíndices y denotan las órdenes de las formas correspondientes. $k$ $pags$

Una forma diferencial se llama cerrada si su diferencial exterior es 0.

k - la forma se llama exacta si puede representarse como un diferencial de alguna -forma.

(k-1)

El grupo cociente de k -formas cerradas por k - formas exactas se denomina grupo de cohomología -dimensional de De Rham . El teorema de De Rham establece que es isomorfo al grupo de cohomología singular k -dimensional .

H_{{dR}}^{k}={\bar \Omega }_{{k}}/d\Omega_{{k-1}}

k

La derivada interna de una forma de potencia con respecto a un campo vectorial (también una sustitución de un campo vectorial en una forma) se llama forma

\omega

norte

\mathbf{v}

i_{{\mathbf {v}}}\omega (u_{1},\dots,u_{{n-1}})=\omega ({\mathbf {v}}),u_{1},\dots , u_{{n-1}})

Propiedades

Es cierto para cualquier forma . $d(d\omega )=0$

La diferenciación exterior es lineal y satisface la regla graduada de Leibniz : $d(\omega ^{k}\cuña \omega ^{p})=(d\omega ^{k})\cuña \omega ^{p}+(-1)^{k}\omega ^ {k}\cuña (d\omega ^{p})$

La derivada interna es lineal y cumple la regla graduada de Leibniz : $i_{X}(\omega ^{k}\cuña \omega ^{p})=(i_{X}\omega ^{k})\cuña \omega ^{p}+(-1)^ {k}\omega ^{k}\cuña (i_{X}\omega ^{p})$

Fórmulas de Cartan. Para una forma arbitraria y campos vectoriales , se cumplen las siguientes relaciones $\omega$ ${\ estilo de visualización X, Y, Z}$ ${\mathcal {L}}_{X}d\omega =d{\mathcal {L}}_{X}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{X}d\omega +di_{X}\omega ,$ ( Fórmula mágica de Cartan ) ${\mathcal {L}}_{X}{\mathcal {L}}_{Y}\omega -{\mathcal {L}}_{Y}{\mathcal {L}}_{X} \omega ={\mathcal {L}}_{[X,Y]}\omega ,$ ${\mathcal {L}}_{X}i_{Y}\omega -i_{Y}{\mathcal {L}}_{X}\omega =i_{[X,Y]}\omega ,$ $i_{X}i_{Y}\omega +i_{Y}i_{X}\omega =0,$

donde denota la derivada de Lie .

\mathcal{L}

Ejemplos

Desde el punto de vista del análisis tensorial, la forma 1 no es más que un campo covectorial , es decir, un tensor covariante multiplicado por 1 , dado en cada punto de la variedad y mapeando los elementos del espacio tangente al conjunto de valores reales . números : $pags$ $METRO$ $T_{p}(M)$ $\matemáticas {R}$ $\omega (p)\colon T_{p}(M)\rightarrow \mathbb{R}$
La forma de volumen es un ejemplo de una forma - en una variedad -dimensional. $norte$ $norte$
Una forma simpléctica es una forma 2 cerrada en una variedad tal que . $\omega$ $2n$ $\omega ^{n}\no =0$

Aplicaciones

Análisis vectorial

Las formas diferenciales hacen posible escribir las operaciones básicas del análisis vectorial en una forma invariante de coordenadas y generalizarlas a espacios de cualquier dimensión. Sea un isomorfismo canónico entre espacios tangentes y cotangentes , y sea el operador de dualidad de Hodge (que, en particular, en el espacio tridimensional realiza un isomorfismo entre dos formas y campos vectoriales, así como entre escalares y pseudoescalares). Entonces el rotor y la divergencia se pueden definir de la siguiente manera: $yo$ $*$

\nombre del operador {rot}\,v=*\,d\,I(v)

\nombre del operador {div}\,v=*^{{-1}}d\,*(v)

Formas diferenciales en electrodinámica

La electrodinámica maxwelliana está formulada muy elegantemente en términos de formas diferenciales en el espacio-tiempo de 4 dimensiones. Considere la forma 2 de Faraday correspondiente al tensor de campo electromagnético :

{\textbf {F}}={\frac {1}{2}}F_{{ab}}\,({\mathrm d}}x^{a}\wedge {{\mathrm d}}x^{ b}.

Esta forma es la forma de curvatura del fibrado principal trivial con el grupo estructural U(1) , mediante el cual se pueden describir la electrodinámica clásica y la teoría de gauge . La forma de 3 de la corriente , dual al habitual vector de 4 de la corriente, tiene la forma

{\textbf {J}}=J^{a}\varepsilon _{{abcd}}\,({\mathrm d}}x^{b}\wedge {{\mathrm d}}x^{c}\ cuña {{\mathrm d}}x^{d}.

En esta notación , las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de manera muy compacta como

{\mathrm {d}}\,{{\textbf {F}}}={\textbf {0}}

{\mathrm {d}}\,{*{\textbf {F}}}={\textbf {J}}

donde está el operador estrella de Hodge . La geometría de la teoría general de calibre se puede describir de manera similar. $*$

La forma 2 también se llama forma 2 de Maxwell . $*{\mathbf{F}}$

Mecánica hamiltoniana

Con la ayuda de formas diferenciales se puede formular la mecánica hamiltoniana de forma puramente geométrica. Considere una variedad simpléctica con una forma simpléctica y una función dada en ella , llamada función de Hamilton . define en cada punto un isomorfismo de los espacios cotangente y tangente según la regla $METRO$ $\omega$ $H$ $\omega$ $X\en M$ $yo$ $T_{{X}}^{{*}}M$ $T_{{X}}M$

dH({\mathbf {u}})=\omega (IdH,{\mathbf {u}}),~~\forall {\mathbf {u}}\in T_{{X}}M

donde es la diferencial de la función . Un campo vectorial en una variedad se denomina campo hamiltoniano , y el flujo de fase correspondiente se denomina flujo hamiltoniano . El flujo de fase hamiltoniano conserva la forma simpléctica y, por lo tanto, conserva cualquiera de sus potencias externas . Esto implica el teorema de Liouville . El corchete de Poisson de las funciones y sobre está determinado por la regla $dH$ $H$ $IdH$ $F$ $GRAMO$ $METRO$

[F,G]=\omega (IdF,IdG)

Variaciones y generalizaciones

Además de las formas de valor real y de valor complejo, a menudo también se consideran formas diferenciales con valores en paquetes de vectores . En este caso, en cada punto, se da una función antisimétrica multilineal de vectores del paquete tangente, que devuelve un vector de la capa por encima de este punto. Formalmente, las formas k externas con valores en un paquete vectorial se definen como secciones del producto tensorial de paquetes. $k$ $METRO$ $\pi \colon E\to M$

\left(\bigwedge ^{k}T^{*}M\right)\otimes_{{M}}E

Un caso especial de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores tangenciales , en cuya definición el paquete tangente se toma como un paquete vectorial . $TM$

Literatura

Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
Godbillon K. Geometría diferencial y mecánica analítica. — M .: Mir, 1973.
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometría moderna. Métodos y aplicaciones. — M .: Nauka, 1971.
Cartan A. Cálculo diferencial. formas diferenciales. — M .: Mir, 1971.
Postnikov M. M. Conferencias sobre geometría. Semestre III. Colectores lisos. — M .: Nauka, 1987.
Buldyrev VS, Pavlov BS Álgebra lineal y funciones de muchas variables. - L. : Editorial de la Universidad de Leningrado, 1985.

Véase también

Calculo diferencial

Principal

vistas privadas

Operadores diferenciales
( en varias coordenadas )

Primer orden	operador nabla Degradado Divergencia Rotor Helmholtziano
segundo orden	Operador elíptico operador de Laplace Operador vectorial de Laplace Operador D'Alembert Operador de Laplace-Beltrami
órdenes superiores	Operador hipoelíptico

Temas relacionados