Forma diferencial

La forma diferencial de la orden , o forma- , es un campo tensorial sesgado simétrico de tipo en la variedad .

Las formas diferenciales fueron introducidas por Eli Cartan a principios del siglo XX.

El formalismo de formas diferenciales resulta conveniente en muchas ramas de la física y las matemáticas teóricas, en particular, en mecánica teórica, geometría simpléctica , teoría cuántica de campos .

El espacio de formas en una variedad generalmente se denota por .

Definiciones

Invariante

En geometría diferencial, una forma diferencial de grado , o simplemente -forma , es una sección uniforme de , es decir, el grado exterior del haz cotangente de la variedad. En particular,

A través de mapas locales

-form on será una expresión de la siguiente forma

donde  son funciones suaves,  es el diferencial de la coordenada th (una función de un vector que devuelve su coordenada con número  ), y  es el producto exterior . Al cambiar las coordenadas, esta vista cambia de forma.

En una variedad suave, las formas k se pueden definir como formas en los mapas que son consistentes a través de los encolados (para una definición precisa de consistencia, consulte variedad ).

Definiciones relacionadas

  • Una forma diferencial se llama cerrada si su diferencial exterior es 0.
  • k - la forma se llama exacta si puede representarse como un diferencial de alguna -forma.
  • El grupo cociente de k -formas cerradas por k - formas exactas se denomina grupo de cohomología -dimensional de De Rham . El teorema de De Rham establece que es isomorfo al grupo de cohomología singular k -dimensional .
  • La derivada interna de una forma de potencia con respecto a un campo vectorial (también una sustitución de un campo vectorial en una forma) se llama forma
  • Propiedades

    donde denota la derivada de Lie .

    Ejemplos

    Aplicaciones

    Análisis vectorial

    Las formas diferenciales hacen posible escribir las operaciones básicas del análisis vectorial en una forma invariante de coordenadas y generalizarlas a espacios de cualquier dimensión. Sea  un isomorfismo canónico entre espacios tangentes y cotangentes , y  sea el operador de dualidad de Hodge (que, en particular, en el espacio tridimensional realiza un isomorfismo entre dos formas y campos vectoriales, así como entre escalares y pseudoescalares). Entonces el rotor y la divergencia se pueden definir de la siguiente manera:

    Formas diferenciales en electrodinámica

    La electrodinámica maxwelliana está formulada muy elegantemente en términos de formas diferenciales en el espacio-tiempo de 4 dimensiones. Considere la forma 2 de Faraday correspondiente al tensor de campo electromagnético :

    Esta forma es la forma de curvatura del fibrado principal trivial con el grupo estructural U(1) , mediante el cual se pueden describir la electrodinámica clásica y la teoría de gauge . La forma de 3 de la corriente , dual al habitual vector de 4 de la corriente, tiene la forma

    En esta notación , las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir de manera muy compacta como

    donde  está el operador estrella de Hodge . La geometría de la teoría general de calibre se puede describir de manera similar.

    La forma 2 también se llama forma 2 de Maxwell .

    Mecánica hamiltoniana

    Con la ayuda de formas diferenciales se puede formular la mecánica hamiltoniana de forma puramente geométrica. Considere una variedad simpléctica con una forma simpléctica y una función dada en ella , llamada función de Hamilton . define en cada punto un isomorfismo de los espacios cotangente y tangente según la regla

    ,

    donde  es la diferencial de la función . Un campo vectorial en una variedad se denomina campo hamiltoniano , y el flujo de fase correspondiente  se denomina flujo hamiltoniano . El flujo de fase hamiltoniano conserva la forma simpléctica y, por lo tanto, conserva cualquiera de sus potencias externas . Esto implica el teorema de Liouville . El corchete de Poisson de las funciones y sobre está determinado por la regla

    Variaciones y generalizaciones

    Además de las formas de valor real y de valor complejo, a menudo también se consideran formas diferenciales con valores en paquetes de vectores . En este caso, en cada punto, se da una función antisimétrica multilineal de vectores del paquete tangente, que devuelve un vector de la capa por encima de este punto. Formalmente, las formas k externas con valores en un paquete vectorial se definen como secciones del producto tensorial de paquetes.

    Un caso especial de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores tangenciales , en cuya definición el paquete tangente se toma como un paquete vectorial .

    Literatura

    Véase también