Una d -esfera simplicial (o combinatoria ) es un homeomorfo complejo simplicial a una esfera d - dimensional . Algunas esferas simpliciales aparecen como los límites de un poliedro convexo , sin embargo, en dimensiones más altas, la mayoría de las esferas simpliciales no se pueden obtener de esta manera.
El problema abierto más importante en esta área es la hipótesis g , formulada por Peter McMullen , quien preguntó sobre el posible número de caras de diferentes dimensiones de una esfera simplicial. Diciembre de 2018 Karim Adiprasito demostró la conjetura para todos los d [1] .
De la fórmula de Euler se deduce que cualquier 2-esfera simplicial con n vértices tiene 3n − 6 aristas y 2n − 4 caras. El caso n = 4 se realiza como un tetraedro. Cuando se repite la subdivisión baricéntrica , es fácil construir esferas simpliciales para cualquier n ⩾ 4. Sin embargo, Ernst Steinitz dio una descripción de 1-esqueletos (gráficos de borde) de politopos convexos en R 3 , lo que implica que cualquier simplicial 2 -esfera es el límite de un politopo convexo.
Branko Grünbaum construyó un ejemplo de una esfera simplicial que no es el límite de un poliedro multidimensional. Gil Kalai demostró que, de hecho, "la mayoría" de las esferas simples no son límites de poliedros. El ejemplo más pequeño existe en la dimensión d = 4 y tiene f 0 = 8 vértices.
El teorema del límite superior da los límites superiores para el número de caras fi i de cualquier esfera d simplicialcon f 0 = n vértices. La conjetura fue probada para esferas poliédricas en 1970 por Peter McMullen [2] , y para esferas simpliciales generales en 1975 por Richard Stanley .
La conjetura g formulada por McMullen en 1970 plantea la cuestión de una descripción completa de los vectores f de las esferas d simpliciales . En otras palabras, ¿cuáles son los conjuntos posibles del número de caras de cada dimensión de una d -esfera simplicial ? Para esferas poliédricas, la respuesta la da el teorema g , que fue demostrado en 1979 por Billera y Lee (existencia) y Stanley (necesidad). Se ha conjeturado que las mismas condiciones son necesarias para las esferas simpliciales generales. Para 2015, la hipótesis permaneció abierta para d = 5 y superior. En diciembre de 2018, Karim Adiprasito demostró la conjetura para todos los d [1] .