Soporte iverson

El corchete de Iverson es una función que devuelve 1 si la afirmación es verdadera y 0 si el argumento es falso:

[\,P\,]={\begin{casos}1,&{\text{si}}P{\text{verdadero}}\\0,&{\text{si}}P{\ texto{falso}}\end{casos}}

La notación fue introducida por Kenneth Iverson para el lenguaje de programación APL , y resultó ser una notación matemática muy conveniente, por ejemplo, con ella puedes definir sucintamente:

Símbolo de Kronecker : , $\delta_{ij} = [\,i=j\,]$
función indicadora : , $\mathbf{1}_A(x) = [\,x \en A\,]$
Función Heaviside : , $\theta (x)=[\,x\geqslant 0\,]$
función de signo de número : . $\sgn(x) = [\,x >0\,] - [\,x < 0\,]$

Además, la notación es conveniente a la hora de manejar sumas , ya que te permite expresarlas sin restricciones en el índice de sumatoria, por ejemplo:

\sum _{i=1}^{n}a_{i}=\sum _{k}a_{k}[\,1\leqslant k\leqslant n\,]

es decir, el índice recorre todo el conjunto de enteros y se suma formalmente un número infinito de términos , pero solo un número finito de ellos es diferente de cero. $k$ $\matemáticas {Z}$

Un ejemplo de un cálculo utilizando la notación de suma de Iverson para una secuencia : ${\displaystyle S=\sum_{i=1}^{n-1}\sum_{j=i+1}^{n}a_{i}a_{j))$ ${\ estilo de visualización \ {a_ {i} \}}$

[\,i < j\,] + [\,i = j\,] + [\,i >j\,] = 1

\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i<j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[ \,i=j\,]+\sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}[\,i>j\,]=\sum \limits _{i,j}a_{i }a_{j}

S + \sum\limits_{i} a_i^2 + S = \biggl(\sum\limits_{i} a_i \biggr)^2

y en cuanto al lado derecho:

{\displaystyle \sum \limits _{i,j}a_{i}a_{j}=\sum \limits _{i}\sum \limits _{j}a_{i}a_{j}=\sum \ límites _ {i}a_{i}\sum \limits_{j}a_{j}={\biggl (}\sum \limits_{i}a_{i}{\biggr )}^{2))

después:

S = \sum_{1 \leq i < j \leq n} a_i a_j = \frac{1}{2} \biggl(\sum_{i=1}^n a_i \biggr)^2 - \frac{1} {2}\sum_{i=1}^n a_i^2

Literatura

Graham R., Knut D., Patashnik O. Matemáticas concretas. — M .: Mir, 1998. — 703 p. — ISBN 5-03-001793-3 .
Kenneth E. Iverson. Un lenguaje de programación. - la Universidad de California: Wiley, 1962. - 286 p. — ISBN 0471430145 .