Indicador (matemáticas)

Un indicador , o función de característica , o una función de indicador , o una función de pertenencia a un subconjunto es una función definida en un conjunto que indica si un elemento pertenece a un subconjunto . $A\subconjunto X$ $X$ $x\en X$ $A$

Dado que el término " función característica " ya se usa en la teoría de la probabilidad , el término " función indicadora " se usa con mayor frecuencia en el contexto de la teoría de la probabilidad; para otras áreas, el término " función característica " se usa con más frecuencia.

Para la representación analítica de la función indicadora se suele utilizar la función de Heaviside .

Definición

Sea un subconjunto elegido de un conjunto arbitrario . La función definida de la siguiente manera: $A\subconjunto X$ $X$ ${\mathbf {1}}_{A}:X\a\{0,1\}$

{\mathbf {1}}_{A}(x)=\left\{{\begin{matriz}1,&x\en A,\\0,&x\no en A,\end{matriz}}\right.

se llama indicador fijo . $A$

Las notaciones alternativas del indicador de conjuntos son: o , ya veces incluso y el corchete de Iverson . $A$ $\chi _{A}$ ${\mathbf{I}}_{A}$ $Hacha)$ $[x\en A]$

( La letra griega proviene de la letra inicial de la ortografía griega de la palabra característica ). $\ chi$

Advertencia _ La notación puede significar una función identidad . $\mathbf {1} _{A}$

Propiedades básicas

Un mapeo que asocia un subconjunto con su indicador de forma inyectiva . Si y son dos subconjuntos de , entonces $A\subconjunto X$ $\mathbf {1} _{A}$ $A$ $B$ $X\$

{\mathbf {1}}_{{A\cap B}}=\min\{{\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}\}={\mathbf {1}}_{A}{\matemáticas{1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\taza B}}=\max\{({\mathbf {1}}_{A},{\mathbf {1}}_{B}}\}={ \mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-{\mathbf {1}}_{A}{\mathbf {1}}_{B},

{\mathbf {1}}_{{A\triángulo B}}={\mathbf {1}}_{A}+{\mathbf {1}}_{B}-2({\mathbf {1}} _{{A\cap B}}),

{\mathbf {1}}_{{A^{c}}}=1-{\mathbf {1}}_{A}.

De manera más general, supongamos que es un conjunto de subconjuntos de . Es claro que para cualquier $A_{1},\ldots,A_{n}$ $X$ $x\en X$

\prod _{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}}(x))

es el producto de ceros y unos. Este producto toma el valor 1 exactamente para los que no pertenecen a ningún conjunto y 0 en caso contrario. Es por eso $x\en X$ $Alaska$

\prod_{{k\in I}}(1-{\mathbf {1}}_{{A_{k}}})={\mathbf {1}}_{{X-\bigcup_{{k }}A_{k}}}=1-{\mathbf {1}}_{{\bigcup_{{k}}A_{k}}}.

Expandiendo el lado izquierdo, obtenemos

{\mathbf {1}}_{{\bigcup_{{k}}A_{k}}}=1-\sum_{{F\subseteq \{1,2,\ldots,n\}}}( -1)^{{|F|}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}}=\sum_{{\emptyset \neq F\subseteq \{1, 2,\ldots,n\}}}(-1)^{{|F|+1}}{\mathbf {1}}_{{\bigcap _{F}A_{k}}},

donde esta el poder Esta es una forma del principio de inclusión-exclusión . Este ejemplo indica que el indicador es una notación útil en combinatoria , que también se usa en otras áreas, por ejemplo, en teoría de probabilidad : si es un espacio de probabilidad con una medida de probabilidad , y es un conjunto medible , entonces el indicador se convierte en aleatorio variable cuya expectativa matemática es igual a la probabilidad $|F|$ $F$ $X$ ${\ matemáticas {P}}$ $A$ $\mathbf {1} _{A}$ $A:$

E({\mathbf {1}}_{A})=\int \limits_{{X}}{\mathbf {1}}_{A}(x)\,d{\mathbf {P}}= \int \limits _{{{A}}d{\mathbf {P}}={\mathbf {P}}(A).\quad

Esta identidad se usa en pruebas simples de la desigualdad de Markov .

Bibliografía

Folland, GB; Análisis real: técnicas modernas y sus aplicaciones , 2.ª edición, John Wiley & Sons , Inc., 1999.
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest y Clifford Stein. Introducción a los Algoritmos , Segunda Edición. MIT Press y McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7 . Sección 5.2: Indicador de variables aleatorias, págs. 94–99.

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Bibliografía

Véase también