Corchetes de Lagrange
Los corchetes de Lagrange son una operación binaria en la mecánica hamiltoniana, estrechamente relacionada con otra operación binaria, los corchetes de Poisson . Los corchetes de Lagrange fueron introducidos por Lagrange en 1808-1810 para expresiones matemáticas en mecánica clásica . A diferencia de los brackets de Poisson, los brackets de Lagrange prácticamente no se utilizan en la actualidad.
Definición
Sea ( q 1 , …, q n , p 1 , …, p n ) un sistema de coordenadas canónicas en el espacio fase . Si cada uno de ellos se expresa como una función de dos variables, u y v , entonces los corchetes de Lagrange de u y v están definidos por la fórmula
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\parcial q_{i)){\parcial u)){\frac {\parcial p_{i}}{\parcial v}}-{\frac {\parcial p_{i}}{\parcial u}}{\frac {\parcial q_{i}}{\parcial v}}\ Correcto).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
Cabe señalar que esta fórmula coincide con la definición de corchetes de Poisson hasta una permutación de los numeradores y denominadores en los operadores de derivadas parciales.
Propiedades
- Los corchetes de Lagrange (como los corchetes de Poisson) son anticonmutativos , lo cual es obvio directamente de la definición:
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816cbee5211de2b81419c9020357c2cf13fa9b4e)
- Los corchetes de Lagrange no dependen del sistema de coordenadas canónicas ( q , p ) . Si ( Q , P ) = ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) es otro sistema de coordenadas canónicas, entonces
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39051426dab031895942d32aa708c5f895a50060)
- Si Ω es un espacio simpléctico en un espacio de fase de 2n dimensiones W y u 1 , …, u 2 n forman un sistema de coordenadas en W , entonces las coordenadas canónicas ( q , p ) se pueden expresar como funciones de las coordenadas u y el Matriz de corchetes de Lagrange
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
- Como consecuencia de las propiedades anteriores, las coordenadas ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) en el espacio fase son canónicas si y solo si los corchetes de Lagrange entre ellas son de la forma
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{ i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
Véase también
Literatura
- Cornelio Lanczos . Los principios variacionales de la mecánica. - Dover, 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
- Patricio Iglesias. Les origines du calcul symplectique chez Lagrange // L'Enseign. Matemáticas. - 1998. - T. (2) 44 , núm. 3-4 . — S. 257–277 . SEÑOR : 1659212
Enlaces
- Eric W. Weisstein . Corchete de Lagrange (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- A. P. Soldátov. Enciclopedia de Matemáticas / Hazewinkel, Michiel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .