Coordenadas canónicas

Las coordenadas canónicas son parámetros independientes en el formalismo hamiltoniano de la mecánica clásica . Por lo general, se denotan como y . $q_{yo}$ $Pi}$

Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales expresadas en términos de paréntesis de Poisson :

\{q_i, q_j\} = 0 \qquad \{p_i, p_j\} = 0 \qquad \{q_i, p_j\} = \delta_{ij}

Las coordenadas canónicas se pueden obtener a partir de coordenadas lagrangianas generalizadas usando transformaciones de Legendre , oa partir de otro conjunto de coordenadas canónicas usando transformaciones canónicas . Si el hamiltoniano se define en el paquete cotangente, las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi .

Aunque puede haber muchas opciones para elegir las coordenadas canónicas de un sistema físico, generalmente se eligen parámetros que son convenientes para describir la configuración del sistema y que simplifican la solución de las ecuaciones de Hamilton.

Conceptos similares también se utilizan en la mecánica cuántica , consulte el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas .

Generalización

Dado que la mecánica hamiltoniana es matemáticamente una geometría simpléctica , las transformaciones canónicas son un caso especial de las transformaciones de contacto .

Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente de una variedad . Por lo general, se escriben como un conjunto o , donde la letra x o q denota coordenadas en la variedad, y la letra p denota el momento conjugado , que es un vector covariante en el punto q de la variedad. $(q^{i},p_{j})$ $(x^i,p_j)$

La definición habitual de coordenadas canónicas es un sistema de coordenadas en el paquete cotangente, en el que la forma canónica de 1 se escribe como

\sum_i p_i\,\mathrm{d}q^i

hasta la suma de un diferencial total. Un cambio de coordenadas que conserva este tipo es una transformación canónica . Este es un caso especial del simplectomorfismo , que es esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica .

Estudio formal

Dada una variedad real Q , entonces el campo vectorial X en Q (o, de manera equivalente, una sección del fibrado tangente TQ ) puede considerarse como una función que actúa sobre el fibrado cotangente , debido a la dualidad de la tangente y espacios cotangentes. esa es la funcion

P_X:T^*Q\to \mathbb{R}

tal que

P_X(q,p)=p(X_q)

mantiene todos los vectores cotangentes p en . Aquí hay un vector en , el espacio tangente de la variedad Q en el punto q . La función se llama función de momento correspondiente a X. $T_q^*Q$ $X_q$ $T_qQ$ $P_X$

En coordenadas locales, el campo vectorial X en q se puede escribir como

X_q=\sum_i X^i(q) \frac{\parcial}{\parcial q^i}

donde es el sistema de coordenadas en TQ. El momento conjugado se expresa entonces como $\parcial /\parcial q^i$

P_X(q,p)=\sum_i X^i(q) \;p_i

donde se definen como funciones de momento correspondientes a los vectores : $Pi}$ $\parcial /\parcial q^i$

p_i = P_{\parcial /\parcial q^i}

$q^{yo}$ junto con forman un sistema de coordenadas en el paquete cotangente . Estas coordenadas se llaman coordenadas canónicas . $p_{j}$ $T^*Q$

Literatura

Herbert Goldstein, Charles P. Poole, Jr., John L. Safko. Mecanica clasica. — 3er. - San Francisco: Addison Wesley, 2002. - págs. 347-349. - ISBN 0-201-65702-3 .
Arnold VI Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .