Corchete venenoso

Los corchetes de Poisson [1] (también posiblemente los corchetes de Poisson [2] y los corchetes de Lie ) son un operador que juega un papel central en la determinación de la evolución temporal de un sistema dinámico . Esta operación lleva el nombre de S.-D. veneno _ Considerado por S. Poisson en 1809 [3] , luego olvidado y redescubierto por Carl Jacobi .

Corchetes de Poisson de campos vectoriales

Sean y sean campos vectoriales en una variedad suave , sea el operador de la derivada de Lie con respecto a la dirección del campo vectorial . El operador conmutador es un operador diferencial de primer orden , por lo que existe un campo vectorial para el cual [4] [Notas 1] $v$ $tu$ $METRO$ $L_{v}$ $v$ $L_{v}$ $L_{u}$ $[v]$

L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}

Los componentes del campo vectorial en un sistema de coordenadas arbitrario se expresan en términos de los componentes y por la fórmula $[v]$ $v$ $tu$

$[v,u]_{i}=\sum_{j}v_{j}{\frac {\parcial u_{i}}{\parcial x_{j}}}-u_{j}{\ frac {\parcial v_{i}}{\parcial x_{j}}}.$

Por lo tanto, el campo no depende del sistema de coordenadas que se utiliza en la fórmula. $[v]$ ${\ estilo de visualización (x_{1},...,x_{n}),}$

Este campo vectorial se denomina conmutador , corchetes de Lie o corchetes de Poisson de los dos campos vectoriales. Expresión explícita para corchetes Campos de mentira:

{\ estilo de visualización [v, u] = L_ {v} u-L_ {u} v}

En la base holonómica , toma la forma

[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\parcial _ {\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\parcial _{\alpha }v^{\mu }

Ejemplo

Sea el grupo de difeomorfismos de la variedad . Entonces, ¿ dónde está el corchete de Poisson y es el diferencial en la identidad del grupo? El símbolo denota la imagen del elemento . $G=\mathrm {Dif} (M)$ $METRO$ $\mathrm {anuncio} _{v}w=-\{v,w\},$ ${\ estilo de visualización \ {v, w \}}$ $\mathrm {anuncio}$ $\mathrm {Anuncio}$ ${\displaystyle \mathrm {anuncio} _{v))$ $v$

Sea una curva que sale con velocidad inicial y sea la misma curva con velocidad inicial Entonces $t\mapsto g(t)$ $k$ ${\ estilo de visualización {\ punto {g}} = m,}$ $s\mapsto h(s)$ $h'=\omega .$

$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o( t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

a $t,s\rightarrow 0.$

Propiedades

Todos menos los dos últimos se prueban mediante un cálculo simple.

Linealidad : es una función independiente dey. ${\Grande [}u,cv{\Grande]}=c{\Grande [}u,v{\Grande]},\;\;\;\;c$ $tu$ $v$
Anticonmutatividad : ${\Grande [}u,v{\Grande]}=-{\Grande [}v,u{\Grande]}$
${\Grande [}w,u+v{\Grande]}={\Grande [}w,u{\Grande]}+{\Grande [}w,v{\Grande]}$
${\Grande [}u,u{\Grande]}=0$
${\cfrac {\parcial {\Gran [}u,v{\Grande]}}{\parcial t}}={\Grande [}{\cfrac {\parcial u}{\parcial t}},v{\ Grande ]}+{\Grande [}u,{\cfrac {\parcial v}{\parcial t)){\Grande ]}$
${\Grande [}w,c{\Grande]}=0$
${\Grande [}w,u\cdot v{\Grande]}={\Grande [}w,u{\Grande]}v+u{\Grande [}w,v{\Grande]}$
${\Gran [}w,u(v_{1},\ldots,v_{k}){\Grande]}=\sum_{{l=1}}^{k}{\cfrac {\u parcial} {\v_ parcial{l))}{\Grande [}w,v_{l}{\Grande]}$
Identidad jacobi : ${\Grande [}{\Grande [}u,v{\Grande]},w{\Grande]}+{\Grande [}{\Grande [}v,w{\Grande]},u{\Grande] }+{\Grande [}{\Grande [}w,u{\Grande]},v{\Grande]}=0.$
La operación de conmutación establece la estructura del álgebra de Lie sobre el conjunto de campos vectoriales .

Corchetes de Poisson de funciones

Sea una variedad simpléctica . La estructura simpléctica on permite introducir on el conjunto de funciones sobre la operación de corchetes de Poisson , denotados por o y dados por la regla [1] [Notas 2] $METRO$ $\omega$ $METRO$ $METRO$ $\{\cdot ,\cdot \}$ $[\cdot ,\cdot]$

[F,G]\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ L_{{{\mathbf F}}}G\equiv dG({\mathbf F})\equiv \omega ({ \mathbf F},{\mathbf G})

donde (también ) es el campo vectorial correspondiente a la función de Hamilton . Se define en términos de la función diferencial y el isomorfismo entre formas 1 y vectores dados por la forma (no degenerada) . Es decir, para cualquier campo vectorial $\mathbf {F}$ $FDI$ $F$ $F$ $\omega$ ${\mathbfv}$

dF({\mathbf v})\ {\stackrel {{\text{def))}{=}}\ \omega ({\mathbf v},{\mathbf F})

El álgebra de mentira de las funciones hamiltonianas

Debido a la simetría oblicua y la bilinealidad , el corchete de Poisson también será simétrico y bilineal: $\omega$

[F,G]=-[G,F]

[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]

Expresión

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]

es una función lineal de las segundas derivadas de cada una de las funciones . Sin embargo $F,G,H$

{\begin{matriz}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{{Id[G,H ]}}F+L_{{{\mathbf G}}}L_{{{\mathbf H}}}F-L_{{{\mathbf H}}}L_{{{\mathbf G}}}F=\ \\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{\mathbf G},{\mathbf H}]}}\right)F\end{matriz}}

Esta expresión no contiene segundas derivadas . De manera similar, no contiene las segundas derivadas y , y por lo tanto $F$ $GRAMO$ $H$

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0

es decir, los corchetes de Poisson satisfacen la identidad de Jacobi . Así, los corchetes de Poisson permiten introducir en el conjunto de funciones la estructura de un álgebra de Lie . De la identidad de Jacobi se deduce que para cualquier función $METRO$ $H$

L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}H

eso es

Id[F,G]=[{\mathbf F},{\mathbf G}]

— la operación de construir un campo vectorial hamiltoniano a partir de una función define un homomorfismo del álgebra de funciones de Lie en el álgebra de campos vectoriales de Lie.

Propiedades

Los corchetes de Poisson no son degenerados :

\forall F\not \equiv 0\ \exists H:[F,H]\neq 0

Los corchetes de Poisson satisfacen la identidad de Leibniz :

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]

Una función es la primera integral de un sistema hamiltoniano con un hamiltoniano si y solo si $F$ $H$ $[F,H]=0$
El corchete de Poisson de las dos primeras integrales del sistema es nuevamente la primera integral (una consecuencia de la identidad de Jacobi).
Considere la evolución de un sistema hamiltoniano con una función hamiltoniana dada en una variedad . La derivada temporal total de una función arbitraria se puede escribir como $H$ $METRO$ $f\dos puntos M\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

{\begin{matriz}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\f parcial}{\t parcial}}+{\dot q}{\frac {\f parcial} {\q parcial))+{\dot p}{\frac {\f parcial}{\p parcial))=\\&{\frac {\f parcial}{\t parcial))+L_{({\ mathbf H))}f=\\&{\frac {\parcial }{\parcial t))f+[H,f]\end{matriz))

En coordenadas canónicas, los corchetes de Poisson toman la forma [Notas 3] $(q_{i},p_{j})$

[f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\parcial f}{\parcial p_{i))}{\frac {\parcial g}{ \parcial q^{i))}-{\frac {\parcial f}{\parcial q^{i))}{\frac {\parcial g}{\parcial p_{i))}\right)

[5]

Importancia filosófica

Los corchetes de Poisson han jugado un papel heurístico importante en la creación de la mecánica cuántica por la analogía clásica entre corchetes de Poisson clásicos y cuánticos. [6] [7] [8] [9]

Notas

↑ Algunos autores [Arnold] usan la definición con el signo opuesto, que también cambia el signo en la definición de los corchetes de funciones de Poisson (ver más abajo). Este enfoque está dictado, aparentemente, por el deseo de preservar tanto las definiciones geométricas naturales de los campos hamiltonianos y sus propiedades, como la forma tradicional de escribir corchetes de Poisson en coordenadas. Sin embargo, esto destruye la simetría natural entre los conmutadores de derivadas, vectores y funciones de Lie. Otros problemas surgen cuando se pasa a los conceptos generales de la geometría diferencial (formas, formas vectoriales, diversas derivaciones), donde la ausencia de esta simetría complica innecesariamente las fórmulas. Por lo tanto, en este artículo se utilizarán otras definiciones, con reservas.
↑ En algunos libros [Arnold] se adopta una definición con el signo opuesto, es decir, Al mismo tiempo, el conmutador de campos vectoriales también se define con el signo opuesto (ver arriba), y la expresión para el paréntesis de Poisson en coordenadas toma la forma tradicional, pero aparece un signo menos adicional en la expresión y la fórmula para el cambio de campo. $[F,G]\ {\stackrel {def}{=}}\ dF({\mathbf G})={-L_{{{\mathbf F}}}G.}$ $L_{{Id[F,G]}}=-L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}$
↑ En [Arnold], [Gantmacher] la expresión tiene el signo opuesto (similar a los comentarios anteriores). Tradicionalmente, la expresión se escribe como en [Gantmacher].

Literatura

↑ 1 2 Gantmakher F. R. Lectures on Analytical Mechanics: Textbook for Universities / Ed. E. S. Pyatnitsky. - 3ra ed. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X .
↑ Arnold V. I. Métodos matemáticos de la mecánica clásica. - 5ª ed., estereotipada. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 copias. — ISBN 5-354-00341-5 .
↑ Poisson SD Memoire sur lavariation des constantes arbitraire dans les questiones de Mechanique. - Diario. politécnico 1809 t. VIII, pág. 266-344
↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Operaciones naturales en geometría diferencial Archivado el 6 de julio de 2020 en Wayback Machine , - Springer-Verlag, Berlín, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0- 387-56235-4 .
↑ Landau L. D, Lifshitz E. M. Física teórica. Volumen 1. / Doctor en Ciencias Físicas y Matemáticas L.P. Pitaevsky. - 5to. - FIZMATLIT, 2004. - S. 176-179. - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Dirac P A M "Ecuaciones básicas de la mecánica cuántica" Copia de archivo del 2 de mayo de 2021 en Wayback Machine UFN 122 611–621 (1977)
↑ Dirac P.A.M. Memorias de una era extraordinaria. - M., Nauka, 1990. - pág. 20-21
↑ Dirac P. A. M. Principios de mecánica cuántica. - M., Fizmatlit, 1960. - pág. 125-130
↑ Razumovsky O. S. Los corchetes de Poisson como método // Yanenko N. N. , Preobrazhensky N. G., Razumovsky O. S. Problemas metodológicos de la física matemática. - Novosibirsk, Nauka, 1986. - pág. 246-263