Relaciones Kramers-Kronig

Las relaciones de Kramers-Kronig son una conexión integral entre las partes real e imaginaria de cualquier función analítica compleja en el semiplano superior. A menudo se usa en física para describir la relación entre las partes real e imaginaria de la función de respuesta de un sistema físico, ya que la analiticidad de la función de respuesta implica que el sistema satisface el principio de causalidad , y viceversa [1] . En particular, las relaciones de Kramers-Kronig expresan la relación entre las partes real e imaginaria de la permitividad en electrodinámica clásica y la amplitud de la probabilidad de transición (del elemento de matriz) entre dos estados en la teoría cuántica de campos . En matemáticas , las relaciones de Kramers-Kronig se conocen como la transformada de Hilbert .

Definición

Para una función compleja de una variable compleja que es analítica en el semiplano superior y tiende a cero como las relaciones de Kramers-Kronig se escriben de la siguiente manera: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$ $\ omega ,$ $\omega$ $|\omega |\flecha derecha \infty ,$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}{\chi _{2}(\omega ') \sobre \omega '-\omega }\,d\omega '

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}{\chi _{1}(\omega ' ) \sobre \omega '-\omega }\,d\omega ',

donde los símbolos significan tomar la integral en el sentido del valor principal (según Cauchy) . Se puede ver que y no son independientes, lo que significa que la función completa se puede restaurar si solo se da su parte real o imaginaria. $vicepresidente$ $\chi _{1}(\omega )$ $\chi _{2}(\omega )$

En una forma más compacta:

\chi (\omega )={1 \over i\pi }vp\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega } \,d\omega '.

Conclusión

Sea una función continua de variable compleja . Estimemos la suma de las integrales sobre los contornos un poco por encima y un poco por debajo del eje real: $f(x)$ $X$

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}+\int_{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\lim_{\epsilon \to 0}\left[\int_{-\ infty -i\epsilon }^{\infty -i\epsilon }{\frac {f(x'+i\epsilon )dx'}{x'}}+\int _{-\infty +i\epsilon }^ {\infty +i\epsilon }{\frac {f(x'-i\epsilon )dx'}{x'}}\right]=2v.p.\int _{-\infty }^{\infty } {\frac{f(x)}{x}}dx

Estimemos la diferencia de las integrales sobre los contornos un poco por encima y un poco por debajo del eje real:

\lim _{\epsilon \to 0}\left[\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{xi\epsilon }}-\int_{ -\infty }^{\infty }{\frac {f(x)dx}{x+i\epsilon }}\right]=\oint _{-\infty }^{\infty }{\frac {f( x)}{x}}dx=2\pi si(0)

( Fórmula integral de Cauchy ). Combinando estas dos igualdades, encontramos

\int_{-\infty}^{\infty}}{\frac {f(x)dx}{x\pm i\epsilon}}=vp\int_{-\infty}^{\infty} {\frac{f(x)}{x}}dx\mp i\pi f(0)

Este es el teorema de Sochocki-Plemelj .

La polarización en algún momento está determinada por los valores del campo eléctrico solo en los momentos anteriores, por lo tanto, la igualdad de polarizabilidad a cero para valores negativos del argumento nos permite escribir: ${\ estilo de visualización \ chi (t)}$

\chi _{\omega }=\int _{0}^{\infty}e^{i\omega t}\chi (t)dt

en el caso de una frecuencia compleja, la función debe ser analítica en el semiplano superior para satisfacer el principio de causalidad . Pero entonces la función , donde es real, también es analítica en el semiplano superior , y cualquier integral cerrada en este semiplano es igual a cero: ${\ estilo de visualización \ chi (\ omega)}$ $\chi (\omega ')/(\omega '-\omega )$ $\omega$ ${\ estilo de visualización \ omega '}$

\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0

Escribimos la integral a lo largo del eje real usando el teorema de Sochocki-Plemei:

0=\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '={\mathcal {P))\!\!\!\int \limits_{ -\infty }^{\infty }{\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '-i\pi \chi (\omega ).

después

\chi (\omega )={1 \over i\pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\chi ( \omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '.

Para el complejo , escribimos las partes real e imaginaria de la ecuación: $\chi (\omega )=\chi _{1}(\omega )+i\chi _{2}(\omega )$

\chi _{1}(\omega )={1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty }{ \chi _{2}(\omega ') \sobre \omega '-\omega }\,d\omega '

\chi _{2}(\omega )=-{1 \over \pi }{\mathcal {P}}\!\!\!\int \limits _{-\infty }^{\infty } {\chi _{1}(\omega ') \sobre \omega '-\omega }\,d\omega ',

donde - la integral se toma en el sentido del valor principal. Se obtienen las relaciones de Kramers-Kronig [2] [3] . ${\ matemáticas {P}}$

Relaciones de Kramers-Kronig en física

Electrodinámica clásica [4] [5]

Un ejemplo importante de la aplicación de las relaciones de Kramers-Kronig en física es la expresión de las relaciones de dispersión en la electrodinámica clásica . En este caso , donde es la permitividad , ω es la frecuencia . $\varepsilon (\omega )=\varepsilon ^{\prime }(\omega )+i\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )$ $\varepsilon$

\varepsilon ^{\prime }(\omega )=1+{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {\varepsilon ^{\prime \prime }(x)}{x-\omega }}dx

\varepsilon ^{{\prime \prime }}(\omega )=-{\frac {1}{\pi }}vp\int \limits_{{-\infty }}^{\infty }{\frac { \varepsilon ^{\prime }(x)-1}{x-\omega }}dx.

Las partes real e imaginaria de la permitividad determinan el índice de refracción y el índice de absorción (constantes ópticas) de un medio dado. Así, estos indicadores no son independientes entre sí y, en consecuencia, se hace posible en principio calcular el espectro del otro a partir del espectro de una de las constantes ópticas sin recurrir a medidas directas de esta última. En varios casos, esto permite reducir la cantidad de información obtenida experimentalmente necesaria para determinar las constantes ópticas, por ejemplo, en la región de bandas de absorción intensa de medios condensados. La viabilidad de las relaciones de Kramers-Kronig se ha probado repetidamente de forma experimental para varios medios en varios estados de agregación ya varias temperaturas (cristales, líquidos, soluciones) [6] [7] .

Teoría cuántica de campos

En la teoría cuántica de campos, al estudiar los procesos de dispersión, las amplitudes de las probabilidades de transición, consideradas como funciones complejas de la energía total del sistema, el momento transferido, etc., satisfacen las relaciones de dispersión [3] . Esto facilita enormemente el estudio de estos fenómenos.

Historia

Las relaciones Kramers-Kronig se establecieron en 1926-1927. Ralph Kronig [8] y Hendrik Kramers [9] y llevan su nombre.

Notas

↑ John S. Toll, Causalidad y la relación de dispersión: fundamentos lógicos , Physical Review, vol. 104 , págs. 1760-1770 (1956).
↑ Jackson. "Electrodinámica clásica". Moscú, Mir, 1965. (Esp: Jackson J. Classical Electrodynamics. — Nueva York: Wiley, 1998
↑ 1 2 Nishijima, 1965 , pág. 153.
↑ Martin P. Reglas de suma Kramers – Relaciones de Kronig y coeficientes de transporte en sistemas cargados // Phys. Rvdo. . - 1967. - T. 161 . - art. 143 .
↑ Agranovich V. M., Ginzburg V. L. Óptica de cristal con tolerancia para dispersión espacial y teoría de excitones. - M. , 1979.
↑ Alperovich L. I., Bakhshiev N. G., Zabiyakin Yu. E., Libov V. S. Relaciones Kramers-Kronig para espectros moleculares de líquidos y soluciones // Óptica y espectroscopia . - 1968. - T. 24 . - S. 60-63 .
↑ Zabiyakin Yu. E. Verificación de las relaciones de dispersión de Kramers-Kronig en un amplio rango de temperatura // Óptica y espectroscopia . - 1968. - T. 24 . - S. 828-829 .
↑ R. de L. Kronig, Sobre la teoría de la dispersión de rayos X, J. Opt. soc. Am., vol. 12 , págs. 547-557 (1926).
↑ HA Kramers, La diffusion de la lumiere par les atomes, Atti Cong. Interno. Fisica, (Transacciones del Congreso del Centenario de Volta) Como, vol. 2 , pág. 545-557 (1927) .

Literatura

Matthews J., Walker R. Métodos matemáticos en física / Per. De inglés. — M.: Atomizdat , 1972. — 392 p.
Barton G. Métodos de dispersión en la teoría de campos / Per. De inglés. - M., 1968.
Nishijima K. Partículas fundamentales. - M. : Mir, 1965. - 462 p.