Transformada de Hilbert

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La transformada de Hilbert en matemáticas y procesamiento de señales es un operador lineal que asigna cada función de una variable real a una función en el mismo dominio convolucionando la función original con la función . En física , estas relaciones se conocen como relaciones de Kramers-Kronig , que relacionan las partes imaginaria y real de la función de respuesta compleja del sistema. $Utah)$ ${\ estilo de visualización H (u) (t)}$ ${\ estilo de visualización 1/(\ pi t)}$

Definición

La transformada de Hilbert se define de la siguiente manera (aquí vp significa el valor principal de la integral impropia de Cauchy ):

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\operatorname {vp} \int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {u(\tau )}{t-\tau }}\,d\tau ,

o, más explícitamente:

H(u)(t)={\frac {1}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \limits _{\varepsilon }^{\infty }{\frac { u(t+\tau )-u(t-\tau )}{\tau }}\,d\tau ={\frac {2}{\pi }}\lim _{\varepsilon \to 0}\int \ límites _ {\varepsilon }^{\infty }{\frac {u(t+\tau )-u(t-\tau )}{2\tau }}\,d\tau =H(\delta )(t) *u(t):=\delta(jt)*u(t).

Propiedades

El resultado de aplicar dos veces la transformada de Hilbert es la función original con signo opuesto:

H{\grande (}H(u){\grande)}(t)=-u(t),

siempre que existan ambas transformaciones.

La transformada de Hilbert da una función ortogonal a la función [1] . ${\displaystyle H{\grande (}u(t){\grande)))$ $Utah)$

Relación con la transformada de Fourier

La transformada de Hilbert es un multiplicador en el dominio espectral.

{\mathcal {F}}{\big (}H(u){\big )}(\omega )=-i\operatorname {sgn} (\omega )\cdot {\mathcal {F}}( u)(\omega),

donde es una variante de la transformada directa de Fourier sin factor de normalización. ${\mathcal {F}}(u)(\omega )=\int \limits _{-\infty }^{+\infty }u(t)e^{-i\omega t}\,dt$

Transformación inversa

H^{-1}=-H.

Algunas transformaciones de Hilbert

En la siguiente tabla, el parámetro de frecuencia es un número real. $\omega$

Señal ${\ estilo de visualización u (t) \,}$	Transformada de Hilbert ${\ estilo de visualización H (u) (t)}$
constante	0
$\sin \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\sin \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=-\operatorname {sgn}(\omega )\cos \omega t$
$\cos \omega t$	$\operatorname {sgn}(\omega )\cos \left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)=\operatorname {sgn}(\omega )\sin \omega t$
${\displaystyle e^{i\omega t))$	$\operatorname {sgn}(\omega )e^{i\left(\omega t-{\tfrac {\pi }{2))\right)}=-i\cdot \operatorname {sgn}(\ omega )e^{i\omega t}$
$1 \sobre t^{2}+1$	$t\sobre t^{2}+1$
$e^{-t^{2}}$	${\ estilo de visualización 2 \ pi ^ {-1/2} F (t)}$ ( F ( t ) es la integral de Dawson )
Sinc ${\frac {\sin t}{t))$	${\frac {1-\cos t}{t))$
Función característica sobre el segmento [ a , b ] ${\ estilo de visualización \ chi _ {[a, b]} (t)}$	${{\frac {1}{\pi }}\ln \left\vert {\frac {ta}{tb}}\right\vert }$
Función rectangular (un caso especial de la anterior) ${\ estilo de visualización \ sqcap (t)}$	${1 \over \pi }\ln \left\vert {t+{1 \over 2} \over t-{1 \over 2}}\right\vert$
función delta ${\ estilo de visualización \ delta (t)}$	${1 \sobre \pi t}$

Sentido geométrico

Para funciones periódicas, es decir, definidas en el círculo unitario, la transformada de Hilbert tiene una interpretación en términos de la geometría de espacios homogéneos de dimensión infinita . Es decir, el grupo de difeomorfismos del círculo que conservan la orientación tiene un espacio cociente con respecto al subgrupo que consta de rotaciones (es decir, isometrías del círculo que conservan la orientación). Se llama espacio de Kirillov -Yuriev y tiene una estructura compleja homogénea. El tensor asociado es la transformada de Hilbert. De hecho, el espacio tangente al espacio de Kirillov-Yur'ev es el cociente del álgebra de campos vectoriales en el círculo con respecto a campos vectoriales constantes. El paquete tangente al círculo es trivial, por lo que los campos vectoriales se pueden identificar con funciones periódicas, en cuyo caso los campos vectoriales constantes se vuelven constantes. Sobre el cociente de funciones sobre el círculo en constantes, la transformada de Hilbert sí actúa como un operador de estructura compleja (es decir, un operador al cuadrado ); su propio subespacio para un valor propio (lo que se llama un subespacio en la teoría de Hodge ) es el espacio de Hardy : los valores límite de funciones continuas en el disco unitario, holomorfas en su interior (en otras palabras, -funciones periódicas, todas cuyas armónicos de Fourier distintos de cero tienen números positivos). $2\pi$ $\mathrm {Dif} ^{+}(S^{1})$ $\mathrm {Dif} ^{+}(S^{1})/\mathrm {U} (1)$ $2\pi$ $-\mathrm {Identificación}$ ${\ sqrt {-1}}$ $(1.0)$ $2\pi$

El espacio de Kirillov-Yur'ev admite un paquete sobre otro espacio homogéneo de dimensión infinita , un factor del grupo de difeomorfismos con respecto a los valores límite de la transformación de Möbius de transformaciones de disco (lineal-fraccional). Es fácil ver que las fibras de este haz son espacios homogéneos biholomórficos a discos unitarios. Este paquete fue popularizado por A. G. Sergeev . $\mathrm {Dif} ^{+}(S^{1})/\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})$ $\mathrm {M{\ddot {o}}b} (S^{1})/\mathrm {U} (1)$

También puede trabajar al revés. Otro ejemplo bien conocido de un paquete circular cuya base tiene una estructura compleja natural es el paquete de Hopf . El cono sobre la esfera se puede identificar con el espacio vectorial complejo , del que se ha eliminado el cero. De manera similar, un grupo puede extenderse por un grupo (tal extensión es el análogo algebraico de la restauración de un cono) de tal manera que el grupo resultante tendrá la estructura de un grupo de Lie complejo de dimensión infinita. A nivel de álgebras de Lie, esta extensión viene dada por el cociclo de Gelfand - Fuchs , que se escribe en términos de funciones sobre el círculo como . El grupo correspondiente se denomina grupo Virasora (a veces Botta -Virasora) y tiene una importancia fundamental en la teoría de cuerdas y otras ramas de la teoría de campos conformes . $S^{2n+1}\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ $\mathrm {Dif} ^{+}(S^{1})$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {R} _ {> 0}}$ $\omega (f,g)=\int _{S^{1}}\left|{\begin{matriz}f'&g'\\f''&g''\end{matriz}}\right |dx$

Véase también

Notas

↑ Grigoriev A. A. Lectures on the Theory of Signals S. 13. Fecha de acceso: 21 de junio de 2017. Archivado el 3 de julio de 2014. (indefinido)

Transformaciones integrales
transformada abel Transformaciones de Bessel Transformación bosquimana Transformación de Gegenbauer Transformada de Hilbert Transformación de Kontorovich-Lebedev Transformada de Laplace Transformada de Meyer Transformación de Mehler-Fock Transformada de Mellin Transformada de Nerain Transformación de radón Transformación de Stieltjes Transformada de Fourier Transformada de Hankel Transformada de Hartley

La contribución de David Hilbert a la ciencia
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