Relaciones Manly-Row

Las relaciones de Manley-Row son relaciones de energía que caracterizan la interacción de oscilaciones u ondas en sistemas no lineales con parámetros agrupados o distribuidos. Fueron obtenidos por primera vez en 1956 por J. Manley y G. E. Rowe para oscilaciones en un sistema reactivo no lineal con parámetros agrupados, y posteriormente se generalizaron a ondas en medios no lineales.

Las relaciones de Manley-Row son válidas para un sistema con una conexión no lineal reactiva arbitraria. Junto con las leyes de conservación de la energía y el momento , las relaciones de Manley-Row determinan la naturaleza de la interacción no lineal de las ondas (oscilaciones) y le permiten calcular la eficiencia máxima del convertidor de frecuencia en la no linealidad reactiva.

Vista general

En términos generales, las relaciones de Manley-Row se pueden escribir de la siguiente manera:

\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {m\cdot P_{mn)){m\cdot \omega _ {1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ m\in \mathbb {Z}

\sum _{m=-\infty }^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _ {1}+n\cdot \omega _{2}}}=0,\ \ \ n\in \mathbb {Z}

dónde

$P_{mn}$ es el cambio de potencia a la frecuencia de combinación , $m\cdot \omega_{\text{H}}+n\cdot \omega_{\text{C}}$
${\ estilo de visualización \ omega _ {1}, \ omega _ {2}}$ son las frecuencias de las oscilaciones iniciales (ondas). Además, la relación debe ser irracional, porque de lo contrario, es posible expresar todas las frecuencias como armónicos de una frecuencia fundamental. ${\ Displaystyle {\ frac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}}$

Prueba [1]

Deje que los cuantos de la frecuencia de combinación aparezcan o desaparezcan por unidad de tiempo. Entonces la potencia a la frecuencia de combinación se expresa como: $A_{mn}$

P_{mn}=A_{mn}\cdot \hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}),

(*)

Como la energía no aparece ni desaparece en el sistema, la potencia total es cero:

\sum_{m,n}P_{mn}=\sum_{m,n}\hbar A_{mn}\cdot (m\cdot \omega_{1}+n\cdot \omega_{ 2})=0

Dado que son irracionales y son números enteros, esta igualdad se cumple solo si ambos términos son iguales a cero: ${\ Displaystyle {\ frac {\ omega _ {2}} {\ omega _ {1}}}}$ ${\ Displaystyle m, n, A_ {mn}}$

\sum _{m,n}m\cdot A_{mn}=\sum _{m,n}n\cdot A_{mn}=0

Expresando a partir de (*) y sustituyendo en la última expresión, obtenemos las siguientes relaciones: $A_{mn}$

{\displaystyle \sum _{m,n}{\frac {m\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2}}}=\sum_{ m,n}{\frac {n\cdot P_{mn}}{m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2))))

La primera de las relaciones de Manley-Row es la ley de conservación del número de cuantos, que, dependiendo de la naturaleza de las ondas que interactúan, son fotones , fonones , plasmones , magnones u otras cuasipartículas que interactúan .

Se pueden calcular las siguientes cantidades:

$A_{mn}={\frac {|P_{mn}|}{\hbar \cdot (m\cdot \omega _{1}+n\cdot \omega _{2})))$ es el número de cuantos de frecuencia de combinación;
${\displaystyle m\cdot A_{m,n))$ es el número de cuantos de frecuencia gastados ( ) o formados ( ) tras la excitación de la frecuencia combinada; $\omega_{1}$ $P_{mn}>0$ $P_{mn}<0$
${\ Displaystyle n \ cdot A_ {m, n}}$ es el número de cuantos de frecuencia gastados ( ) o formados ( ) tras la excitación de la frecuencia combinada. $\omega _{2}$ $P_{mn}>0$ $P_{mn}<0$

Relaciones para la interacción de tres frecuencias

Consideremos las relaciones de Manley-Row en el caso particular de interacción de tres frecuencias. Sea, por ejemplo, la frecuencia de diferencia la frecuencia de combinación . Entonces el sistema tiene tres frecuencias: ${\ estilo de visualización \ omega _ {0} = \ omega _ {1} - \ omega _ {2}}$