Secuencia espectral

En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio para calcular grupos de homología mediante aproximaciones sucesivas. Desde su introducción por Jean Leray , se han convertido en una importante herramienta computacional, especialmente en topología algebraica, geometría algebraica y álgebra homológica.

Formal definición

Fijamos una categoría abeliana como la categoría de módulos sobre un anillo . La secuencia espectral consta de un número entero no negativo elegido r 0 y un conjunto de tres secuencias:

Para todos los enteros r ≥ r 0 , objetos E r , llamados hojas,
Endomorfismos d r : E r → E r que satisfacen d r o d r = 0, llamados mapeos de límites o diferenciales,
Isomorfismos de E r +1 con H ( E r ), la homología de E r con respecto a dr .

Por lo general, se omiten los isomorfismos entre E r +1 y H ( E r ), y en su lugar se escriben igualdades.

El ejemplo más simple es el complejo de cadenas C • . El objeto C • de la categoría abeliana de complejos de cadenas está equipado con un diferencial d . Sea r 0 = 0 y E 0 C • . Entonces E 1 será el complejo H ( C • ): el i -ésimo miembro de este complejo es el i -ésimo grupo de homología C • . El único diferencial natural en este nuevo complejo es el mapa cero, por lo que establecemos d 1 = 0. Entonces E 2 será igual a E 1 , y nuevamente el único diferencial natural es el mapa cero. Suponiendo que el diferencial sea cero para todas las hojas posteriores, obtenemos una secuencia espectral cuyos términos tienen la forma:

mi 0 = do •
E r = H ( C • ) para todo r ≥ 1.

Los términos de esta secuencia espectral están estabilizados desde la primera hoja, ya que el único diferencial no trivial estaba en la hoja cero. Por lo tanto, no recibimos nueva información en pasos posteriores. Por lo general, para obtener información útil de hojas posteriores, debe tener una estructura adicional en E r .

En la situación no graduada descrita anteriormente, r 0 no importa, pero en la práctica la mayoría de las secuencias espectrales ocurren en la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo R (o haces de módulos doblemente graduados sobre un haz de anillos). En este caso, cada hoja es un módulo de doble calificación y se descompone en una suma directa de términos con un término para cada par de grados. El mapeo de límites se define como la suma directa de los mapeos de límites en cada miembro de hoja. Su grado depende de r y se fija por acuerdo. En el caso de una secuencia espectral homológica, los términos denotan y los diferenciales tienen bigrado (− r , r − 1). En el caso de una secuencia espectral cohomológica, los términos denotan y los diferenciales tienen bigrado ( r , 1 − r ). (Esta elección de grados surge naturalmente en la práctica; vea el ejemplo de doble complejo a continuación). Dependiendo de la secuencia espectral, el mapa de límites en la primera hoja tiene un bigrado correspondiente a r = 0, r = 1 o r = 2. Para ejemplo, para el complejo filtrado de secuencia espectral que se describe a continuación, r 0 = 0, pero para la secuencia espectral de Grothendieck r 0 = 2. ${\displaystyle E_{p,q}^{r))$ ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$

Sea E r una secuencia espectral que comienza, por ejemplo, con r = 0. Entonces hay una secuencia de subobjetos

0=B_{0}\subconjunto B_{1}\subconjunto B_{2}\subconjunto \puntos \subconjunto B_{r}\subconjunto \puntos \subconjunto Z_{r}\subconjunto \puntos \subconjunto Z_{2 }\subconjunto Z_{1}\subconjunto Z_{0}=E_{0},

tal que ; De hecho, creemos y definimos de tal manera que es el núcleo y la imagen ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1))$ ${\ estilo de visualización Z_ {0} = E_ {0}, B_ {0} = 0}$ ${\ estilo de visualización Z_ {r}, B_ {r}}$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1))$ $E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.$

Entonces suponemos , entonces ${\displaystyle Z_{\infty}=\cap_{r}Z_{r},B_{\infty}=\cup_{r}B_{r))$

{\displaystyle E_{\infty}=Z_{\infty}/B_{\infty})

;

se llama miembro límite. (Por supuesto, esto puede no existir en la categoría, pero esto no suele ser un problema, ya que, por ejemplo, en la categoría de módulos existen tales límites, o porque las secuencias espectrales con las que se trabaja en la práctica la mayoría de las veces degeneran; en la secuencia anterior solo tiene un número finito de inclusiones). ${\ Displaystyle E_ {\ infinito}}$

Visualización

Una secuencia espectral doblemente graduada contiene muchos datos, pero existe un método de visualización que hace que la estructura de la secuencia espectral sea más comprensible. Tenemos tres índices, r , p y q . Imaginemos que por cada r tenemos una hoja de papel. En esta hoja, aumente p en la dirección horizontal y q en la dirección vertical. En cada punto de la red tenemos un objeto . ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$

Normalmente, n = p + q es otro índice natural en la secuencia espectral. n aumenta en diagonal. En el caso homológico, los diferenciales tienen bigrado (− r , r − 1), por lo que disminuyen n en 1. En el caso cohomológico, n aumenta en 1. Si r es cero, el diferencial mueve los objetos un paso hacia arriba o hacia abajo. . Esto es como un diferencial en un complejo de cadenas. Si r es uno, el diferencial mueve los objetos un paso hacia la izquierda o hacia la derecha. Si r es igual a dos, el diferencial mueve objetos de manera similar al movimiento de un caballo en el ajedrez. Para r grande , el diferencial actúa como un movimiento de caballo generalizado.

Construcciones de secuencias espectrales

Secuencia espectral del complejo filtrado

Muchas secuencias espectrales provienen de complejos cocadena filtrados. Este es un complejo cocadena C • con un conjunto de subcomplejos F p C • , donde p es un número entero arbitrario. (En la práctica, p generalmente está acotado en un lado). Se requiere que el mapeo de límites sea consistente con este filtrado; es decir, re ( F pags C norte ) ⊆ F pags C norte +1 . Consideramos que la filtración es decreciente, es decir, F p C • ⊇ F p+1 C • . Numeraremos los términos del complejo cocadena con el índice n . Más adelante, supondremos también que la filtración es Hausdorff o separable, es decir, la intersección de todas las F p C • es cero, y que la filtración es exhaustiva, es decir, la unión de todas las F p C • es la cocadena entera complejo C • .

El filtrado es útil porque da una medida de la proximidad a cero: a medida que aumenta p , F p C • se acerca a cero. Construiremos una secuencia espectral a partir de esta filtración en la que los colímites y cociclos de las hojas subsiguientes se acerquen cada vez más a los colímites y cociclos del complejo original. Esta secuencia espectral será graduada dos veces por el grado de filtración p y el grado complementario {{{1}}} . (La potencia complementaria suele ser un índice más conveniente que n . Por ejemplo, este es el caso de la secuencia espectral compleja binaria que se describe a continuación).

Construiremos esta secuencia espectral manualmente. C • tiene solo una calificación y filtrado, por lo que primero construimos un objeto con doble calificación a partir de C • . Para obtener la segunda graduación, pasamos al objeto graduado asociado con respecto al filtrado. Lo denotaremos de una forma inusual, que se justificará en el paso E 1 :

{\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q))

B_{0}^{pq}=0

E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+ 1 ,q-1}}}={\frac{F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}

{\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q))

Dado que asumimos que el mapeo de límites es consistente con la filtración, E 0 es un objeto de doble graduación y hay un mapeo de límites natural de doble graduación d 0 en E 0 . Para obtener E 1 , tomamos la homología de E 0 .

{\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0} ^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\ flecha derecha F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}

{\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q -1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1} /F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}

{\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac ({\bar {Z}}_{1}^{p,q}}({\bar {B}}_{1}^{ p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{ {\mbox{im}}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q))))

E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{ \frac{{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}

Tenga en cuenta que y puede describirse como imágenes en ${\bar{Z}}_{1}^{p,q}$ ${\bar{B}}_{1}^{p,q}$ ${\ Displaystyle E_ {0}^ {p, q}}$

Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+1}C^{p+q+1}

B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\ flecha derecha C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

Y, qué tenemos

E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1 ,q-1}}}.

${\displaystyle Z_{1}^{pq))$ es exactamente lo que el diferencial sube un nivel en el filtrado, y es exactamente la imagen de lo que el diferencial sube cero niveles en el filtrado. Esto sugiere que deberíamos definir como lo que mueve el diferencial r nivela el filtrado y como la imagen de lo que mueve el diferencial r-1 nivela el filtrado. En otras palabras, la secuencia espectral debe satisfacer ${\ Displaystyle B_ {1}^ {p, q}}$ ${\ Displaystyle Z_ {r}^ {p, q}}$ ${\ Displaystyle B_ {r}^ {p, q}}$

Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1} /F^{p+r}C^{p+q+1}

B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1} C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}

E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p +1,q-1}}}

y debemos tener la razon

B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).

Para que esto tenga sentido, debemos encontrar el diferencial d r en cada E r y comprobar que su homología es isomorfa a E r+1 . Diferencial

d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}

se define como la restricción del diferencial original d c al subobjeto . $C^{p+q}$ ${\ Displaystyle Z_ {r}^ {p, q}}$

Es fácil comprobar que la homología de E r con respecto a este diferencial es E r+1 , por lo que obtenemos una secuencia espectral. Desafortunadamente, el diferencial no se describe muy claramente. Encontrar diferenciales, o formas de prescindir de ellos, es uno de los principales problemas que se interponen en el camino de la aplicación exitosa de la secuencia espectral.

Secuencia espectral del doble complejo

Otra secuencia espectral frecuente es la secuencia espectral del doble complejo. Un complejo doble es un conjunto de objetos C i, j para todos los enteros i y j , junto con dos diferenciales, d I y d II . Por convención, d I reduce i y d II disminuye j . Además, asumimos que estos dos diferenciales son anticonmutadores, de modo que d I d II + d II d I = 0. Nuestro objetivo es comparar las homologías iteradas y . Hacemos esto filtrando nuestro doble complejo de dos maneras. Estos son nuestros filtros: $H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet,\bullet}))$ $H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet,\bullet}))$

(C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{casos}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{ si }}i\geq p\end{casos}}

(C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{casos}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{ si }}j\geq p\end{casos}}

Para obtener la secuencia espectral, reducimos la situación al ejemplo anterior. Definimos un complejo total T ( C •,• ) como un complejo cuyo n-ésimo término es éste y cuya diferencial es d I + d II . Este es un complejo, ya que d I y d II son diferenciales anticonmutación. Dos filtraciones sobre C i, j inducen dos filtraciones sobre el complejo total: ${\ estilo de visualización \ bigoplus _ {i + j = n} C_ {i, j}}$

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j))

{\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j))

Para mostrar que estas secuencias espectrales brindan información sobre la homología iterada, describimos los términos E 0 , E 1 y E 2 de la filtración I en T ( C •, • ). El miembro E 0 es simple:

{}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{ \bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{ i+j=n \sobre i>p}C_{i,j}=C_{p,q},

donde n = pags + q .

Para encontrar el término E 1 , debemos describir d I + d II en E 0 . Tenga en cuenta que el diferencial debe tener grado −1 con respecto a n , por lo que obtenemos el mapeo

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet,\bullet})_{p}^{I}/T_{ n}(C_{\bullet,\bullet})_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet,\bullet})_{p }^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}

Por lo tanto, el diferencial en E 0 es el mapa C p , q → C p , q −1 , inducido por d I + d II . Pero d I tiene el grado incorrecto para inducir tal aplicación, por lo que d I debe ser cero en E 0 . Esto significa que el diferencial es exactamente d II , por lo que obtenemos

{}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).

Para encontrar E 2 debemos definir

d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{ II}(C_{p+1,\bullet})

Dado que E 1 es exactamente la homología con respecto a d II , d II es cero en E 1 . Por lo tanto, obtenemos

{}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).

Usando otro filtrado, obtenemos una secuencia espectral con un término similar E 2 :

{}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).

Queda por encontrar una conexión entre estas secuencias espectrales. Resulta que a medida que aumenta r , las dos secuencias se vuelven lo suficientemente similares para hacer comparaciones útiles.

Convergencia y degeneración

En el ejemplo elemental con el que comenzamos, las hojas de la secuencia espectral eran constantes a partir de r =1. En esta situación, tiene sentido tomar el límite de una secuencia de hojas: dado que nada sucede después de la hoja cero, la hoja límite de E ∞ es la misma que E 1 .

En situaciones más generales, a menudo existen hojas de límite y siempre son interesantes. Son uno de los aspectos más importantes de las secuencias espectrales. Decimos que una sucesión espectral converge a si existe r ( p , q ) tal que para todo r ≥ r ( p , q ) las diferenciales y son cero. De esto se deduce que será isomorfo para r grande . Esto se denota de la siguiente manera: ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$ ${\displaystyle E_{\infty}^{p,q))$ $d_{r}^{pr,q+r-1}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q))$ ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$ ${\displaystyle E_{\infty}^{p,q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty}^{p,q))

Aquí p denota el índice de filtración. El término a menudo se escribe en el lado izquierdo de la convergencia porque es el término más útil en muchas secuencias espectrales. ${\ Displaystyle E_ {2}^ {p, q}}$

En la mayoría de las secuencias espectrales, el término no se gradúa de forma natural por partida doble. En cambio, suele haber miembros con filtrado natural . En estos casos, suponemos . Definimos la convergencia de la misma manera que antes, pero escribimos ${\ Displaystyle E_ {\ infinito}}$ ${\displaystyle E_{\infty}^{n))$ ${\displaystyle F^{\bullet }E_{\infty}^{n))$ ${\displaystyle E_{\infty}^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}E_{\infty}^{p+q}=F^{p}E_{\infty}^{ p+q}/F^{p+1}E_{\infty}^{p+q))$

{\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty}^{n))

lo que significa que cuando p + q = n , converge a . ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$ ${\displaystyle E_{\infty}^{p,q))$

El caso más simple en el que podemos establecer convergencia es cuando la secuencia espectral degenera. Decimos que una secuencia espectral degenera en la hoja r -ésima si para cualquier s ≥ r el diferencial d s es cero. Esto implica que E r ≅ E r +1 ≅ E r +2 ≅ … En particular, se sigue que E r es isomorfo a E ∞ . Esto es lo que sucedió en el primer ejemplo trivial de un complejo de cadenas sin filtrar: la secuencia espectral degeneró en la primera hoja. En general, si una secuencia espectral doblemente graduada es nula fuera de una banda horizontal o vertical, la secuencia espectral degenera, ya que los diferenciales posteriores siempre entran o provienen de un objeto fuera de la banda.

Una secuencia espectral también converge si se anula para todo p menor que algún p 0 y para todo q menor que algún q 0 . Si se puede elegir que p 0 y q 0 sean cero, esto se denomina secuencia espectral de primer cuadrante . Esta secuencia converge porque cada objeto está a una distancia fija del límite de la región distinta de cero. Por lo tanto, para p y q fijos , el diferencial en hojas posteriores siempre se asigna hacia o desde el objeto nulo. De manera similar, una secuencia espectral también converge si se anula para todo p mayor que algún p 0 y para todo q mayor que algún q 0 . ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$ ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$ ${\ Displaystyle E_ {r}^ {p, q}}$

Literatura

A. T. Fomenko, D. B. Fuks. Curso de topología de homotopía. - M. : Nauka, 1989. - 528 p.
Hatcher, Allen, Secuencias espectrales en topología algebraica