Secuencia espectral de Grothendieck

La secuencia espectral de Grothendieck es una secuencia espectral que calcula funtores de composición de funtores derivados a partir de funtores derivados F y G . $G\circ F$

Si y son funtores exactos a la izquierda aditivos entre categorías abelianas , de modo que lleva los objetos inyectivos a -acíclicos (es decir, aquellos en los que los funtores desaparecen cuando ) y si hay suficientes objetos inyectivos en , entonces para cada objeto de la categoría , que tiene una resolución inyectiva, existe una secuencia exacta: $F:{\mathcal {A}}\to {\mathcal {B}}$ $G:{\mathcal {B}}\to {\mathcal {C}}$ $F$ $GRAMO$ $R^{p}G$ $p>0$ ${\ matemáticas {B}}$ $A$ $\mathcal{A}$

E_{2}^{pq}=({\rm {R}}^{p}G\circ {\rm {R}}^{q}F)(A)\Longrightarrow {\rm {R }}^{p+q}(G\circ F)(A).

Muchas secuencias espectrales en geometría algebraica son casos especiales de la secuencia espectral de Grothendieck, como la secuencia espectral de Leray .

Ejemplos

Secuencia espectral de Leray

Si y son espacios topológicos , sean $X$ $Y$

{\mathcal {A}}=\mathbf {Ab} (X)

y son categorías de haces de grupos abelianos en X e Y , respectivamente, y

{\mathcal {B}}=\mathbf {Ab} (Y)

{\mathcal {C}}=\mathbf {Ab}

es la categoría de los grupos abelianos.

Para visualización continua

f:X\a Y

existe un funtor de imagen directa (exacta a la izquierda)

f_{*}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab} (Y)

También tenemos funtores de sección global

\Gamma _{X}:\mathbf {Ab} (X)\to \mathbf {Ab}

\Gamma _{Y}:\mathbf {Ab} (Y)\to \mathbf {Ab} .

Entonces desde

{\ estilo de visualización \ Gamma _ {Y} \ circ f_ {*} = \ Gamma _ {X}}

y funtores y satisfacen los supuestos del teorema (dado que el funtor imagen directa tiene un adjunto izquierdo fiel , las imágenes directas de las haces inyectivas son inyectivas y, en particular, acíclicas para el funtor de sección global), la secuencia espectral toma la forma: ${\ estilo de visualización f_ {*}}$ ${\ estilo de visualización \ Gamma _ {Y}}$ $f^{-1}$

H^{p}(Y,{\rm {R}}^{q}f_{*}{\mathcal {F}})\implica H^{p+q}(X,{\mathcal { F))

para un haz de grupos abelianos en , y esta es exactamente la secuencia espectral de Leray. ${\ matemáticas {F}}$ $X$

Secuencia espectral de Exts locales y globales

Hay una secuencia espectral que conecta la Ext global y la Ext del haz: sean F , G haces de módulos sobre un espacio anillado ; por ejemplo, esquema . Después $(X,{\mathcal {O}})$

E_{2}^{p,q}=\nombre del operador {H} ^{p}(X;{\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F,G) )\Rightarrow \operatorname {Ext}_{\mathcal {O}}^{p+q}(F,G).

[una]

Este es un caso especial de la secuencia espectral de Grothendieck: de hecho,

R^{p}\Gamma (X,-)=\operatorname {H} ^{p}(X,-)

, y .

R^{q}{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)={\mathcal {E}}xt_{\mathcal {O}}^{q}(F ,-)

R^{n}\Gamma (X,{\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-))=\operatorname {Ext}_{\mathcal {O}}^{ n}(F,-)

Además, asigna módulos -inyectivos a poleas flácidas, [2] que son -acíclicas. Por lo tanto, los supuestos se cumplen. ${\mathcal {H}}om_{\mathcal {O}}(F,-)$ $\mathcal{O}$ ${\ estilo de visualización \ gamma (X,-)}$

Notas

↑ Godeman, 1961 , Capítulo II, Teorema 7.3.3.
↑ Godeman, 1961 , Capítulo II, Lema 7.3.2.

Literatura

R. Godeman. Topología algebraica y teoría de poleas. — M. : EN, 1961.
Grothendieck, Alexander (1957), Sur quelques points d'algèbre homologique, The Tohoku Mathematical Journal. Segunda serie Vol. 9: 119–221, ISSN 0040-8735
Weibel, Charles A. Introducción al álgebra homológica. Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge, 1994. ISBN 978-0-521-55987-4 .