Subdiferencial

La subdiferencial de una función f definida en un espacio de Banach E es una forma de generalizar la noción de derivada a funciones arbitrarias. Aunque al usarlo hay que sacrificar la unicidad del mapeo (los valores de la subdiferencial en el caso general son conjuntos, no puntos individuales), resulta bastante conveniente: cualquier función convexa resulta subdiferenciable en el todo el dominio de definición. En aquellos casos en los que no se sabe nada de antemano sobre la derivabilidad de una función, esto resulta ser una ventaja significativa.

Además, la subdiferencial (con restricciones bastante débiles sobre la función) es en muchos aspectos similar en sus propiedades a la derivada ordinaria. En particular, para una función diferenciable coinciden, pero para una función no diferenciable resulta ser, por así decirlo, un "conjunto de posibles derivadas" en un punto dado. Los valores del subdiferencial son subconjuntos convexos del espacio dual E *.

Definición

El subdiferencial de una función convexa en un punto es el conjunto formado por todos los funcionales lineales que satisfacen para toda la desigualdad ${\ estilo de visualización \ f parcial (x_ {0})}$ $f\dos puntos E\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización x_ {0))$ $p\in E^{*}$ ${\ estilo de visualización x \ en E}$

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

Una función se llama subdiferenciable en un punto si el conjunto no es vacío. $f(x)$ $x_{0}$ ${\ estilo de visualización \ f parcial (x_ {0})}$

El vector perteneciente a la subdiferencial se llama subgradiente de la función en el punto . $p\in E^{*}$ ${\ estilo de visualización \ f parcial (x_ {0})}$ $f(x)$ $x_0$

Propiedades

${\ estilo de visualización \ f parcial (x_ {0})}$ es un conjunto convexo (posiblemente vacío) en ${\ estilo de visualización E ^ {*}}$

Sean f 1 (x), f 2 (x) funciones finitas convexas, y una de ellas es continua en el punto x, , entonces ${\ estilo de visualización \ lambda \ geq 0}$

$\parcial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\parcial \left(f_{1}(x)\right)+\parcial \left(f_{ 2}(x)\derecha)$ , la suma se entiende en el sentido de la suma de Minkowski .

$\parcial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \parcial f_{1}(x)$

Si una función es convexa y continua en un punto , entonces es subdiferenciable en ese punto , es decir , y su subdiferencial es un conjunto compacto y convexo $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ ${\ estilo de visualización x \ en E}$ ${\ estilo de visualización x \ en E}$ ${\ estilo de visualización \ parcial f (x) \ neq \ varnada}$ ${\ estilo de visualización \ f parcial (x)}$

Sea la función convexa y finita. En este caso, la función es Gateaux diferenciable en un punto si y solo si su subdiferencial en este punto consiste en un solo vector $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $f(x)$ ${\ Displaystyle x_ {0} \ en E}$ ${\displaystyle \parcial f(x_{0})=\left\{{\frac {\parcial f(x_{0})}{\parcial x))\right\))$

Una función tiene un mínimo local en un punto si y solo si 0 pertenece al subdiferencial en ese punto.

Si una secuencia de funciones convexas converge puntualmente a una función convexa , entonces para cualquier secuencia convergente su límite pertenece al subdiferencial . $f_n$ $F$ $p_{n}\in \parcial _{x_{0}}f_{n}$ ${\displaystyle p=\lim _{n\to \infty }p_{n))$ ${\ estilo de visualización \ parcial _ {x_ {0}} f}$

Enlaces

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elementos de análisis convexo y fuertemente convexo. - M. : Fizmatlit, 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3 .
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentos del análisis convexo. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .