Subfactorial

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El subfactorial de un número n (notación: !n ) se define como el número de permutaciones de orden n , es decir, permutaciones de orden n sin puntos fijos . El nombre subfactorial proviene de una analogía con factorial , que determina el número total de permutaciones.

En particular, !n es el número de formas de poner n letras en n sobres (uno cada uno) de modo que ninguna de ellas acabe en el sobre correspondiente (el llamado "Problema de la Carta").

Fórmula explícita

El subfactorial se puede calcular utilizando el principio de inclusión-exclusión :

!n=n!\left(1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+...+ (-1)^{n}{\frac {1}{n!}}\right)=n!\sum _{{k=0}}^{n}{\frac {(-1)^{k }}{k!}}

Otras fórmulas

$!n={\frac {\Gamma (n+1,-1)}{e))$ , donde denota una función gamma incompleta , y e es una constante matemática; $\Gama$
$!n=\left\lpiso {\frac {n!}{e}}\right\rceil$ , donde denota el entero más cercano a x . $\left\lpiso x\right\rceil$
$!n=\left\lpiso {\frac {n!+1}{e}}\right\rpiso$ (según Mehdi Hassani ), donde denota la parte entera de un número. $\lpiso x\rpiso$
Son válidas las identidades formales : y , donde es necesario entender como , y -as . $Q^{n}=(P-1)^{n}$ $P^{n}=(Q+1)^{n}$ $P^{k}$ $k!$ $Q^{k}$ $!k$

Tabla de valores

norte	! norte [1]
una	0
2	una
3	2
cuatro	9
5	44
6	265
7	1854
ocho	14 833
9	133 496
diez	1 334 961
once	14 684 570
12	176 214 841
13	2 290 792 932
catorce	32 071 101 049
quince	481 066 515 734
dieciséis	7 697 064 251 745
17	130 850 092 279 664
Dieciocho	2 355 301 661 033 953
19	44 750 731 559 645 100
veinte	895 014 631 192 902 100

Propiedades

${\displaystyle !n={!(n-1)}\cdot n+(-1)^{n))$
$!n=(n-1)\cdot ({!(n-1)}+{!(n-2)})$ ( factorial en sí tiene la misma propiedad )
$!n=(n-1)\cdot a_{{n-2}},$

donde y . Miembros iniciales de la secuencia [2] :

\;a_{0}=a_{1}=1

{\displaystyle a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-2}={!(n+1)}+{!n))

un

1, 1 , 3 , 11 , 53 , 309, 2119, …

El número 148349 es una subfactoría , es decir es igual a la suma de los subfactoriales de sus dígitos (análogo a factorion ):

148349={!1}+{!4}+{!8}+{!3}+{!4}+{!9}

(encontrado por JS Madachy, 1979)

El subfactorial a veces se permite en juegos matemáticos, como obtener resultados diferentes de ciertos números (por ejemplo, se conoce el juego Four Fours , donde la igualdad! 4 \u003d 9 puede ser útil).

Notas

↑ Secuencia OEIS A000166 = Números subfactoriales o rencontres, o desarreglos: número de permutaciones de n elementos sin puntos fijos
↑ Secuencia OEIS A000255 = a (n) cuenta permutaciones de [1,...,n+1] sin subcadena [k,k+1]