Subfactorial
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El subfactorial de un número n (notación: !n ) se define como el número de permutaciones de orden n , es decir, permutaciones de orden n sin puntos fijos . El nombre subfactorial proviene de una analogía con factorial , que determina el número total de permutaciones.
En particular, !n es el número de formas de poner n letras en n sobres (uno cada uno) de modo que ninguna de ellas acabe en el sobre correspondiente (el llamado "Problema de la Carta").
Fórmula explícita
El subfactorial se puede calcular utilizando el principio de inclusión-exclusión :
Otras fórmulas
, donde denota una función gamma incompleta , y e es una constante matemática;![\Gama](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cfde86a3f7ec967af9955d0988592f0693d2b19)
, donde denota el entero más cercano a x .![\left\lpiso x\right\rceil](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/268820b1f46434f097eb3890e87324635cf592f9)
(según Mehdi Hassani ), donde denota la parte entera de un número.![\lpiso x\rpiso](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738c94c88678dd08a289f90a47a609ce44eedf14)
- Son válidas las identidades formales : y , donde es necesario entender como , y -as .
![Q^{n}=(P-1)^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d9941878394866df5a9aa05c4658a521324c8ab)
![P^{n}=(Q+1)^{n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/660e54324bfa522a597ec6f28da2ac11719226ab)
![P^{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9b914b3be2f196c380a19c496c5f940039c5643)
![k!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/949e312c9bf9a9a5e641c1db1b1d7c6f0425b536)
![Q^{k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef350eda815ed2e1b12c8a8ff27a3980e96f0c91)
![!k](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b3d1ac3752c6f55889228d68231ea62bab8db70)
Tabla de valores
norte |
! norte [1]
|
una |
0
|
2 |
una
|
3 |
2
|
cuatro |
9
|
5 |
44
|
6 |
265
|
7 |
1854
|
ocho |
14 833
|
9 |
133 496
|
diez |
1 334 961
|
once
|
14 684 570
|
12
|
176 214 841
|
13
|
2 290 792 932
|
catorce
|
32 071 101 049
|
quince
|
481 066 515 734
|
dieciséis
|
7 697 064 251 745
|
17
|
130 850 092 279 664
|
Dieciocho
|
2 355 301 661 033 953
|
19
|
44 750 731 559 645 100
|
veinte
|
895 014 631 192 902 100
|
Propiedades
donde y . Miembros iniciales de la secuencia
[2] :
![\;a_{0}=a_{1}=1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ddb04e5e1c60e7e775dd04a96a36f7620110cee)
![{\displaystyle a_{n}=n\cdot a_{n-1}+(n-1)\cdot a_{n-2}={!(n+1)}+{!n))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f69e4a2f9698ab0edcfed89011c10daeb37047af)
![un](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/790f9209748c2dca7ed7b81932c37c02af1dbc31)
1,
1 ,
3 ,
11 ,
53 , 309, 2119, …
- El número 148349 es una subfactoría , es decir es igual a la suma de los subfactoriales de sus dígitos (análogo a factorion ):
![{\displaystyle 148349={!1}+{!4}+{!8}+{!3}+{!4}+{!9}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae8555d23f5f386a783ba92189851390a3c15455)
(encontrado por JS Madachy, 1979)
- El subfactorial a veces se permite en juegos matemáticos, como obtener resultados diferentes de ciertos números (por ejemplo, se conoce el juego Four Fours , donde la igualdad! 4 \u003d 9 puede ser útil).
Notas
- ↑ Secuencia OEIS A000166 = Números subfactoriales o rencontres, o desarreglos: número de permutaciones de n elementos sin puntos fijos
- ↑ Secuencia OEIS A000255 = a (n) cuenta permutaciones de [1,...,n+1] sin subcadena [k,k+1]