Cálculo de sombras

El cálculo de sombras (del inglés Umbral calculus , más allá del latín umbra - "sombra") es un método matemático para obtener algunas identidades algebraicas. Hasta la década de 1970, el término se refería a la similitud de ciertas identidades algebraicas aparentemente no relacionadas , así como a las técnicas utilizadas para probar esas identidades. Estas técnicas fueron propuestas por John Blissard [1] y, a veces, se denominan método simbólico de Blissard . A menudo se atribuyen a Edward Lucas (o James Joseph Sylvester ) quien los usó extensamente [2] .

En las décadas de 1930 y 1940, Eric Temple Bell trató de poner el cálculo de sombras sobre una base estricta.

En la década de 1970, Stephen Roman, Gian-Carlo Rota y otros desarrollaron el cálculo de sombras en el sentido de funcionales lineales en el espacio de polinomios. Actualmente, el cálculo de sombras se refiere al estudio de secuencias de Schaeffer , incluidas secuencias de polinomios de tipo binomial y secuencias de Appel , pero puede incluir técnicas de cálculo de diferencias finitas .

Cálculo de sombras en el siglo XIX

El método es un procedimiento de notación utilizado para las identidades resultantes que involucran secuencias indexadas de números, asumiendo que los índices son potencias de . El uso literal es absurdo, pero funciona con éxito: las identidades obtenidas mediante el cálculo de sombras se pueden obtener correctamente mediante métodos más complejos que se pueden utilizar literalmente sin dificultades lógicas.

El ejemplo utiliza polinomios de Bernoulli . Considere, por ejemplo, la expansión binomial habitual (que contiene coeficientes binomiales ):

{\displaystyle (y+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}y^{nk}x^{k))

y una relación de aspecto notablemente similar para los polinomios de Bernoulli :

B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}B_{nk}(y)x^{k}.

También comparamos la primera derivada

{\frac{d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}

con una relación muy similar para los polinomios de Bernoulli:

{\frac {d}{dx}}B_{n}(x)=nB_{n-1}(x).

Estas similitudes permiten la construcción de evidencia en la sombra que, a primera vista, puede no ser cierta, pero aun así funciona. Así, por ejemplo, si consideramos que el índice es un grado: $nk$

B_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}b^{nk}x^{k}=(b+x)^{n},

después de la diferenciación, obtenemos el resultado deseado:

B_{n}'(x)=n(b+x)^{n-1}=nB_{n-1}(x).

En las fórmulas anteriores es "umbra" (la palabra latina para "sombra"). $b$

Véase también fórmula de Faulhaber .

La sombra de Taylor se clasifica

También se han observado conexiones similares en la teoría de las diferencias finitas . La versión sombreada de la serie de Taylor está dada por expresiones similares usando las diferencias de la derecha del polinomio , $k$ ${\ estilo de visualización \ Delta ^ {k} [f]}$ $F$

f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](0)}{k!))(x)_{k}

dónde

{\ estilo de visualización (x) _ {k} = x (x-1) (x-2) \ cdots (x-k + 1)}

es el símbolo de Pochhammer , usado aquí para representar el factorial decreciente. Una relación similar es válida para las diferencias del lado izquierdo y los factoriales crecientes.

Estas series también se conocen como series de Newton o desarrollo de la mano derecha de Newton . Un análogo de la expansión de Taylor se utiliza en el cálculo de diferencias finitas .

Bell y Riordan

En las décadas de 1930 y 1940, Eric Temple Bell intentó sin éxito hacer que este tipo de argumento fuera lógicamente riguroso. John Riordan, quien trabajó en el campo de la combinatoria , utilizó esta técnica ampliamente en su libro Combinatorial Identities (Identidades combinatorias), publicado en la década de 1960.

Cálculo de sombras moderno

Otro científico en el campo de la combinatoria, Gian-Carlo Rota, señaló que el misterio desaparece si consideramos un funcional lineal sobre polinomios de , definido como $L$ $z$

{\ estilo de visualización L \ izquierda (z ^ {n} \ derecha) = B_ {n} (0) = B_ {n}.}

Luego, usando la definición de polinomios de Bernoulli y la definición de linealidad , se puede escribir $L$

B_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}{n \elegir k}B_{nk}x^{k}=\sum_{k=0}^{n }{n \elegir k}L\left(z^{nk}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}z^{ nk}x^{k}\derecha)=L\izquierda((z+x)^{n}\derecha).

Esto le permite reemplazar la entrada con , es decir, pasar del índice inferior al superior (la operación clave del cálculo de sombras). Por ejemplo, ahora podemos demostrar que ${\ estilo de visualización B_ {n} (x)}$ ${\ estilo de visualización L ((z + x) ^ {n})}$ $norte$

{\displaystyle B_{n}(y+x)=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}B_{nk}(y)x^{k))

expandiendo el lado derecho

\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}B_{nk}(y)x^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}L\left((z+y)^{nk}\right)x^{k}=L\left(\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}(z+y )^{nk}x^{k}\right)=L\left((z+x+y)^{n}\right)=B_{n}(x+y).

Rota argumentó más tarde que gran parte de la confusión se derivaba de la falta de distinción entre las tres relaciones de equivalencia que surgen en esta área.

En un artículo de 1964, Rota usó métodos de sombra para establecer una fórmula recursiva que se cumple con los números de Bell , que cuentan el número de particiones de conjuntos finitos.

En el artículo de Roman y Rota [3] , el cálculo de sombras se describe como el estudio de un álgebra de sombras (álgebra umbral) definida como un álgebra de funcionales lineales sobre un espacio vectorial de polinomios con un producto de funcionales lineales definido como $X$ ${\ estilo de visualización L_{1}L_{2))$

\langle L_{1}L_{2}\mid x^{n}\rangle =\sum _{k=0}^{n}{n \elegir k}\langle L_{1}\mid x ^{k}\rangle \langle L_{2}\mid x^{nk}\rangle .

Si una secuencia de polinomios reemplaza una secuencia de números como imágenes bajo un mapeo lineal , el método de sombra parece ser una parte esencial de la teoría general de polinomios especiales de Roth, y esta teoría es cálculo de sombra bajo algunas definiciones más modernas del término [4 ] . Un pequeño ejemplo de esta teoría se puede encontrar en el artículo sobre la secuencia de polinomios de tipo binomial . Otro artículo es Schaeffer Sequence . ${\ estilo de visualización y ^ {n}}$ $L$

Más tarde, Rota aplicó ampliamente el cálculo de sombras en un artículo conjunto con Shen para estudiar varias propiedades combinatorias de semi-invariantes [5] .

Notas

↑ Blissard, 1861 .
↑ Campana, 1938 , pág. 414–421.
↑ Román, Rota, 1978 , p. 95–188.
↑ Rota, Kahaner, Odlyzko, 1973 , pág. 684.
↑ Rota, Shen, 2000 , pág. 283–304.

Literatura

Bell ET La historia del método simbólico de Blissard, con un bosquejo de la vida de su inventor // The American Mathematical Monthly . - Asociación Matemática de América , 1938. - V. 45 , no. 7 . — S. 414–421 . — ISSN 0002-9890 . — .
Juan Blissard. Teoría de ecuaciones genéricas // La revista trimestral de matemáticas puras y aplicadas. - 1861. - T. 4 . — S. 279–305 .
Steven M. Roman, Gian-Carlo Rota. El cálculo umbral // Avances en Matemáticas. - 1978. - T. 27 , núm. 2 . — S. 95–188 . — ISSN 0001-8708 . - doi : 10.1016/0001-8708(78)90087-7 .
Rota GC, Kahaner D., Odlyzko A. Sobre los fundamentos de la teoría combinatoria. VIII. Cálculo de operadores finitos // Revista de análisis matemático y sus aplicaciones. - 1973. - junio ( vol. 42 , número 3 ). - S. 684 . - doi : 10.1016/0022-247X(73)90172-8 . Reimpreso en el libro del mismo título, Academic Press, Nueva York, 1975.

Steve Román. El cálculo umbral . — Londres: Academic Press Inc. [Harcourt Brace Jovanovich Publishers], 1984. - Vol. 111. - (Matemáticas Puras y Aplicadas). — ISBN 978-0-12-594380-2 . . Reimpreso por Dover, 2005.
Roman S. Cálculo umbral // Enciclopedia de Matemáticas / Michiel Hazewinkel. - Springer Science+Business Media BV/Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
Rota G.-C. , Shen J. Sobre la Combinatoria de Cumulantes // Revista de Teoría Combinatoria. - 2000. - T. 91 . — S. 283–304 .

Enlaces

Weisstein, Eric W. Umbral Calculus (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
A. Di Bucchianico, D. Loeb. Una encuesta seleccionada de cálculo umbral // Revista electrónica de combinatoria . - 2000. - T. DS3 . Archivado desde el original el 24 de febrero de 2012.
Roman, S. (1982), La Teoría del Cálculo Umbral, I