Superaditividad

En matemáticas , una secuencia { a n }, n ≥ 1, se llama superaditiva si satisface la desigualdad

{\displaystyle a_{n+m}\geq a_{n}+a_{m))

para cualquier m y n . La principal razón para usar secuencias superaditivas se deriva del siguiente lema de Michael Fekete [1] .

Lema: (Fekete) Para cualquier sucesión superaditiva { a n }, n ≥1, el límite lim a n / n existe y es igual al supremo sup a n /n . (El límite puede ser infinito positivo, por ejemplo, para la sucesión a n =log n !).

De manera similar, una función f es superaditiva si

{\ estilo de visualización f (x + y) \ geq f (x) + f (y)}

para cualquier x e y del dominio de f .

Por ejemplo, es una función superaditiva para números reales no negativos, ya que el cuadrado siempre es mayor o igual que la suma de los cuadrados y para cualquier número real no negativo y . $f(x)=x^{2}$ $x+y$ $X$ $y$ $X$ $y$

Un análogo del lema de Fekete también es válido para funciones subaditivas . Hay extensiones del lema de Fekete que no requieren que la definición de superaditividad se cumpla para todo m y n . También existen resultados que nos permiten derivar la tasa de convergencia al límite, cuya existencia se afirma en el lema de Fekete, si existe alguna superaditividad o subaditividad. Una buena discusión de este tema se puede encontrar en Steele (1997) [2] [3] .

El término "superaditivo" también se aplica a funciones del álgebra lógica , donde . $P(X\lor Y)\geq P(X)+P(Y)$

Si f es una función superaditiva y 0 está en su dominio, entonces f (0) ≤ 0. Para verificar esto, tome la desigualdad: . Como consecuencia $f(x)\leq f(x+y)-f(y)$ $f(0)\leq f(0+y)-f(y)=0.$

Ejemplos de funciones superaditivas

El determinante es superaditivo para una matriz hermitiana no negativa , es decir, si son matrices hermitianas no negativas, entonces . Esto se sigue del teorema del determinante $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\ estilo de visualización \ det (A + B) \ geq \ det (A) + \ det (B)}$ [ aclarar ] Minkowski , que generalmente establece que es superaditivo (es decir, cóncavo ) [4] para matrices hermitianas no negativas de tamaño n : si son matrices hermitianas no negativas, entonces . ${\ estilo de visualización \ det (\ cdot) ^ {1/n))$ $A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )$ ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geq \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n))$

información mutua
Horst Alzer demostró [5] que la función gamma de Hadamard H ( x ) es superaditiva para todos los números reales x , y con x , y ≥ 1.5031.

Véase también

Choquet integral
semi-aditividad

Notas

↑ Fekete, M. (1923). “Über die Verteilung der Wurzeln bei gewissen algebraischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten”. Mathematische Zeitschrift . 17 (1): 228-249. DOI : 10.1007/BF01504345 .
↑ Teoría de la probabilidad y optimización combinatoria . - ISBN 0-89871-380-3 .
↑ Conferencias de CBMS sobre teoría de la probabilidad y optimización combinatoria .
↑ M. Marcus, H. Minc (1992). Una encuesta sobre la teoría de matrices y las desigualdades de matrices . Dover. Teorema 4.1.8, página 115.
↑ Horst Alzer. Una propiedad superaditiva de la función gamma de Hadamard. - Springer, 2009. - doi : 10.1007/s12188-008-0009-5 .

Enlaces

György Polya y Gábor Szego. Problemas y teoremas de análisis, volumen 1. - Springer-Verlag, Nueva York, 1976. - ISBN 0-387-05672-6 .
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