Esquema con diferencias contra corriente

Un esquema de diferencia de contraflujo en física computacional es una clase de métodos de discretización para resolver ( mediante esquemas explícitos ) ecuaciones diferenciales parciales de tipo hiperbólico (ecuaciones hiperbólicas ).

Por ejemplo, la ecuación de onda unidimensional tiene la forma

$\qquad {\frac {\parcial u}{\parcial t))+a{\frac {\parcial u}{\parcial x))=0$

Describe la propagación de una onda en una dirección con una velocidad . Tal ecuación es también un modelo matemático para la advección lineal unidimensional . Considerando un punto de cuadrícula ordinario , en el caso unidimensional solo hay dos direcciones posibles, izquierda y derecha. Si es positivo, entonces el lado izquierdo se llama dirección aguas arriba y el lado derecho se llama dirección aguas abajo. (Si es negativo, entonces viceversa). Si, al usar diferencias finitas para la derivada espacial, contiene más puntos en el lado aguas arriba, entonces el esquema se denomina esquema de diferencias aguas arriba [1] . $X$ $a$ $i$ $a$ $a$ $\u parcial/\x parcial$

Primer pedido

El ejemplo más simple, ejemplo de primer orden: [2]

\quad (1)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i} ^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a>0

\quad (2)\qquad {\frac {u_{i}^{n+1}-u_{i}^{n)){\Delta t))+a{\frac {u_{i+ 1 }^{n}-u_{i}^{n}}{\Delta x}}=0\quad {\text{for}}\quad a<0

Forma compacta

Definición

\qquad \qquad a^{+}={\text{max))(a,0)\,,\qquad a^{-}={\text{min))(a,0)

\qquad \qquad u_{x}^{-}={\frac {u_{i}^{n}-u_{i-1}^{n}}{\Delta x}}\,,\ qcuadrado u_{x}^{+}={\frac {u_{i+1}^{n}-u_{i}^{n)){\Delta x))

dos ecuaciones condicionales (1) y (2) se pueden escribir en una:

\quad (3)\qquad u_{i}^{n+1}=u_{i}^{n}-\Delta t\left[a^{+}u_{x}^{-}+ a^{-}u_{x}^{+}\right]

Tal ecuación representa esquemas con diferencias aguas arriba de manera general. La estabilidad del esquema con diferencias aguas arriba está determinada por el criterio de Courant-Friedrichs-Levy . [3]

Fuentes

^ Fletcher K. Métodos computacionales en dinámica de fluidos . - Springer , 1992. - ISBN 9783540530589 . (Ruso)
↑ Patankar, SV Transferencia de calor numérica y flujo de fluidos (sin especificar) . — Taylor & Francis , 1980. — ISBN 978-0-89116-522-4 .
↑ Hirsch, C. Cálculo numérico de flujos internos y externos . - John Wiley & Sons , 1990. - ISBN 978-0-471-92452-4 .