Convergencia según Cesaro

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 11 de mayo de 2020; la verificación requiere 1 edición .

La convergencia según Cesaro es una generalización del concepto de convergencia de series numéricas y funcionales , introducido por el matemático italiano Ernesto Cesaro [1] . De hecho, existe toda una familia de definiciones en función del parámetro k . La convergencia fue definida por primera vez por Cesaro para valores enteros positivos del parámetro k y aplicada a un conjunto de series. Posteriormente, el concepto de convergencia según Cesaro se extendió a valores arbitrarios de k , incluidos los complejos . Los métodos para encontrar la suma según Cesaro tienen numerosas aplicaciones: en la multiplicación de series, en la teoría de las series de Fourier , y otras cuestiones.

Definición

Se dice que una serie es Cesaro convergente de orden k o (C, k) -convergente con suma S si: $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

\lim _{{n\to \infty}}{\frac {A_{n}^{k}}{E_{n}^{k}}}=S

donde se definen como coeficientes de dilatación: $A_{n},E_{n}$

\sum _{{n=0}}^{\infty}A_{n}^{\alpha}x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum_{n=0}}^{\ infinito }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{{1+\alpha }}}},

\sum _{{n=0}}^{\infty }E_{n}^{\alpha }x^{n}=(1-x)^{{-1-\alpha }},

Propiedades

Para k = 0 , la convergencia de Cesaro es la convergencia habitual de la serie, para k = 1 , la serie converge con la suma S si donde son las sumas parciales de la serie. $\lim _{{n\to \infty}}{\frac {1}{n}}\sum _{{j=1}}^{n}s_{j}=S,$ $s_{j}=a_{1}+\cdots +a_{j}$

Los métodos (C, k) para encontrar la suma de una serie son completamente regulares para y no regulares para . La fuerza del método aumenta con k : si una serie es convergente para k , entonces es convergente con la misma suma para k ' para k ' > k > −1 . $k\geq 0$ $k<0$

Para k <-1 , esta propiedad no se conserva.

Si la serie es (C, k) -convergente, entonces . $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$ $a_{n}=o(n^{k})$

La convergencia de Cesaro (C, k) es equivalente y compatible con la convergencia de Hölder (H, k) y Rees (R, n, k) (k >0). Para cualquier k > −1 , el método (C, k) es más débil que el método de Abel .

Ejemplo

Sea a n = (-1) n+1 para n ≥ 1. Es decir, { a n } es una secuencia

1,-1,1,-1,\ldots .

La sucesión de sumas parciales { s n } tiene la forma:

1,0,1,0,\ldots,

y es obvio que esta serie no converge en el sentido usual. Pero los miembros de la secuencia {( s 1 + … + s n )/ n } son

{\frac {1}{1)),\,{\frac {1}{2)),\,{\frac {2}{3)),\,{\frac {2}{4)), \,{\frac {3}{5)),\,{\frac {3}{6)),\,{\frac {4}{7)),\,{\frac {4}{8} },\,\ldots ,

y en total

\lim _{{n\to \infty }}{\frac {s_{1}+\cdots +s_{n}}{n}}=1/2.

Por tanto, la serie es Cesaro convergente con el parámetro 1 y su suma es igual a 1/2. $\sum _{{n=1}}^{\infty}a_{n}$

Véase también

Notas

↑ Cesaro E., "Toro. ciencia matemáticas.", 1890, t. 14, nº 1, pág. 114-20;

Enlaces

Convergencia según Cesaro (inglés) en el sitio web PlanetMath .

Literatura

Enciclopedia Matemática / Ed. I. M. Vinogradova. Volumen 5 - M.: Nauka, 1985
Baron S. A., Introducción a la teoría de la sumabilidad de series, 2ª ed., Tallin , 1977.
Sigmund A., Serie trigonométrica, trad. del inglés, volumen 1, M., 1965;
Fikhtengol'ts GM Un curso de cálculo diferencial e integral . Volumen 2. - Ed. 6-es, estereotipado. — M.: Nauka, 1966
Xapdi G., Serie Divergente, trad. del inglés, M., 1951;
Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Métodos de sumabilidad de Borel: teoría y aplicaciones, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .