Gama funcional

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Una serie funcional es una serie , cada miembro de la cual, a diferencia de la serie numérica , no es un número , sino una función . $\ {u_{k}}(x)$

Secuencia de funciones

Deje que se dé una secuencia de funciones de valores complejos en el conjunto incluido en el espacio euclidiano d-dimensional . $\MI$ $\ {\matemáticas {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Convergencia puntual

La sucesión funcional converge puntualmente a la función si . $\ {u_{k}}(x)$ $\ {u}(x)$ $\forall x\in E\;\;\;\existe \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Convergencia uniforme

Hay una función tal que: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

El hecho de convergencia uniforme de una sucesión a una función se escribe: $\ {u_{k}}(x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)$

Gama funcional

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\sum_{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n-ésima suma parcial .

Convergencia

En matemáticas , convergencia significa la existencia de un límite finito para una sucesión numérica , la suma de una serie infinita , un valor para una integral impropia , un valor para un producto infinito .

Una serie se llama convergente puntual si la secuencia de sus sumas parciales converge puntualmente. $\{S_{n}}(x)$

Una serie se llama uniformemente convergente si la secuencia de sus sumas parciales converge uniformemente. $\{S_{n}}(x)$

Una condición necesaria para la convergencia uniforme de la serie

$\ {u_{k}}(x)\rightrightflechas 0$ a $\k\rightarrow \infty$

O, de manera equivalente , , donde X es el área de convergencia. $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\in \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$

Criterio de Cauchy para la convergencia uniforme

Criterio de Cauchy para la secuencia funcional. Para que la secuencia de funciones definida sobre el conjunto converja uniformemente en este conjunto, es necesario y suficiente que para cualquier , a partir de un cierto número , para todo , mayor o igual que , simultáneamente para todos los valores de las funciones y difieren en no más de . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty}$ $V$ $\varepsilon >0$ $N=N(\varepsilon)$ $Nuevo Méjico$ $norte$ $x \en V$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon

Convergencia absoluta y condicional

Una serie se llama absolutamente convergente si converge. Una serie absolutamente convergente converge. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty}}\mid {u_{k}}(x)\mid$

Si la serie converge pero diverge, entonces se dice que la serie es condicionalmente convergente. Para tales series , el teorema de Riemann sobre la permutación de los términos de una serie condicionalmente convergente es cierto . $\sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty}}\mid {u_{k}}(x)\mid$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)$

Señales de convergencia uniforme

Signo de comparación

La serie converge absoluta y uniformemente si se cumplen las siguientes condiciones: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)$

La serie converge uniformemente. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Un caso especial es el criterio de Weierstrass cuando . Así, la serie funcional se limita a lo habitual. Requiere la convergencia habitual. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Signo de Dirichlet

La serie converge uniformemente si se cumplen las siguientes condiciones: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

La secuencia de funciones de valor real es monótona y $\ {a_{k}}(x)$ $\ \para todo x\en E$ $\ {a_{k}}(x)\rightrightflechas 0$
Las sumas parciales están uniformemente acotadas . $\ {S_{n}}(x)=\sum_{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

Signo de Abel

La serie converge uniformemente si se cumplen las siguientes condiciones: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

La secuencia de funciones de valor real está uniformemente acotada y es monótona . $\ {a_{k}}(x)$ $\ \para todo x\en E$
La serie converge uniformemente. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)$

Propiedades de sucesiones y series uniformemente convergentes

Teoremas de continuidad

Consideramos funciones de valores complejos en el conjunto $\MI$

Una sucesión de funciones continuas en un punto converge a una función continua en este punto.

subsecuencia

\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)

\ \para todo k:

la función es continua en un punto

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Entonces es continua en .

\u(x)

\ x_0

Varias funciones continuas en un punto convergen en una función continua en ese punto.

Fila

\ \sum _{{k=0}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)

\ \para todo k:

la función es continua en un punto

\ {u_{k}}(x)

\ x_0

Entonces es continua en .

\S(x)

\ x_0

Teoremas de integración

Se consideran funciones de valor real en un segmento del eje real.

Teorema del paso al límite bajo el signo integral.

\ \para todo k:

la función es continua en el segmento

\ {u_{k}}(x)

\ [a, b]

\ {u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x)

sobre el

\ [a, b]

Entonces la secuencia numérica converge a un límite finito .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx))

Teorema de integración término a término.

\ \para todo k:

la función es continua en el segmento

\ {u_{k}}(x)

\ [a, b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x)

sobre el

\ [a, b]

Entonces la serie numérica converge y es igual a .

\ \sum _{k=1}^{\infty}\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

{\ estilo de visualización \ int \ límites _ {a}^ {b} S (x) dx}

Teoremas de diferenciación

Se consideran funciones de valor real en un segmento del eje real.

Teorema de la diferenciación bajo el límite.

\ \para todo k:

la función es derivable (tiene derivada continua) en el intervalo

\ {u_{k}}(x)

\ [a, b]

\ \existe c\en [a,b]:~u_{k}(c)

converge (hasta el límite final)

\ {u'_{k}}(x)\rightrightarrows \omega (x)

en el segmento

\ [a, b]

Entonces es diferenciable en , en

\ \existe u(x):~{u_{k}}(x)\rightrightarrows u(x),~u(x)

\ [a, b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a, b]

Teorema de diferenciación término a término.

\ \para todo k:

la función es diferenciable en el segmento

\ {u_{k}}(x)

\ [a, b]

\ \existe c\en [a,b]:~\sum _{{k=1}}^{{\infty}}u_{k}(c)

converge

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u'_{k}}(x)

converge uniformemente en el segmento

\ [a, b]

Entonces es diferenciable en , en

\ \existe S(x):~\sum _{{k=1}}^{{\infty}}{u_{k}}(x)\rightrightarrows S(x),~S(x)

\ [a, b]

\ S'(x)=\sum_{{k=1}}^{{\infty}}{u'_{k}}(x)

\ [a, b]

Enlaces

O. V. Besov. ‹…Š–ˆˆLectures on Mathematical Analysis. parte 1 - M. : MIPT, 2004. - 325 p. Capítulo 16 Secuencias y filas de funciones

Secuencias y filas
Secuencias	Secuencia numérica Secuencia fundamental Secuencia recurrente lineal números de Fibonacci números rizados Factorial Secuencia de ladrón secuencia de bruijn
Filas, básico	Suma de fila El resto de la fila Convergencia Condicional serie alterna Fila multisección
Series numéricas ( operaciones con series numéricas )	serie armónica Serie de Leibniz Una serie de cuadrados inversos. Una serie de números primos recíprocos. Fila de Dirichlet serie Mercator Fila Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
filas funcionales	Serie Taylor serie laurent series de Fourier Serie trigonométrica de Fourier serie trigonométrica serie de salchichas
Otros tipos de fila	serie de Neumann Fila de puiseux