Lista de integrales de funciones elementales

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La integración es una de las dos operaciones básicas del cálculo . A diferencia de la operación de diferenciación, la integral de una función elemental no necesita ser una función elemental. Por ejemplo, del teorema de Liouville se deduce que la integral de no es una función elemental. Las tablas de antiderivadas conocidas suelen ser muy útiles, aunque ahora están perdiendo su relevancia con la llegada de los sistemas de álgebra computacional. Esta página contiene una lista de las primitivas más comunes. $e^{x^2}$

$C$ se utiliza como una constante de integración arbitraria, que se puede determinar si se conoce el valor de la integral en algún punto. Toda función tiene un número infinito de antiderivadas.

Reglas para integrar funciones

{\ estilo de visualización \ int Cf (x) \, dx = C \ int f (x) \, dx}

\int [f(x) + g(x)]\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx

\int f(x)g(x)\,dx=f(x)\int g(x)\,dx-\int \left(\int g(x)\,dx\right)\, df(x)

\int f(ax+b)\,dx = {1 \over a} F(ax+b)\,+C

Integrales de funciones elementales

Funciones racionales

{\ estilo de visualización \ int \! 0 \, dx = C}

(la antiderivada de cero es una constante; en cualquier rango de integración, la integral de cero es igual a cero)

{\displaystyle\int\!a\,dx=ax+C}

\int \!x^{n}\,dx={\begin{casos}{\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C,&n\neq -1\\ \ln \izquierda|x\derecha|+C,&n=-1\end{casos}}

\int\!{dx \over {a^2+x^2}} = {1 \over a}\,\operatorname{arctg}\,\frac{x}{a} + C = - {1 \over a}\,\nombre del operador{arcctg}\,\frac{x}{a} + C

Prueba

Hagamos una sustitución , obtenemos $x=a\operatorname {tg} t$

$\int \!{dx \over {a^{2}+x^{2}}}=\int \!{d(a\operatorname {tg} t) \over a^{2}+( a\nombre de operador {tg} t)^{2}}={1 \sobre a}\int \!{\cos ^{2}t \sobre \cos ^{2}t}dt={t \sobre a} +C={1 \sobre un}\nombre del operador {arctg} {x \sobre un}+C.$

\int\!{dx \over {x^2-a^2}} = {1 \over 2a}\ln \left|{xa \over {x+a}}\right| +C

("logaritmo alto")

Logaritmos

\int\!\ln {x}\,dx = x \ln {x} - x + C

\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln|\ln x|+ C

\int\!\log_b {x}\,dx = x\log_b {x} - x\log_b {e} + C = x\frac{\ln {x} - 1}{\ln b} + C

Funciones exponenciales

\int\!e^x\,dx = e^x + C

\int\!a^x\,dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C

Funciones irracionales

\int\!{dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arcsin {x \over a} + C

\int\!{-dx \over \sqrt{a^2-x^2}} = \arccos {x \over a} + C

\int\!{dx \sobre x\sqrt{x^2-a^2}} = {1 \sobre a}\,\operatorname{arcsec}\,{|x| \sobre a} + C

\int \!{dx \over {\sqrt {x^{2}\pm a^{2))))=\ln \left|{x+{\sqrt {x^{2}\pm a ^{2}}}}\derecho|+C

("logaritmo largo")

\int \!{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}\,dx={1 \over 2}({x}{\sqrt {x^{2}+a^ {2}}}+{a}\ln |x+{\sqrt {x^{2}+a^{2}}}|)+C

Prueba

Supongamos también que . Usemos funciones hiperbólicas , hagamos la sustitución $un<0$ ${\ estilo de visualización x \ geq 0}$ $x={\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t,t\geq 0$

${\begin{alineado}\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}dx&=\int {\sqrt {({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t) ^{2}+a}}d({\sqrt {-a}}\operatorname {ch} t)=-a\int {\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}t-1}}\operatorname {sh} tdt\\&=-a\int \operatorname {sh} ^{2}tdt=-a\int {\operatorname {ch} 2t-1 \over 2}dt={-a \over 2}\ izquierda({\nombre del operador {sh} 2t \sobre 2}-t\derecha)+C_{1}\\&={-a \sobre 2}(\nombre del operador {sh} t\nombre del operador {ch} tt)+C_ {1}\end{alineado}}$

Pero

$\operatorname {sh} t={\sqrt {\operatorname {ch} ^{2}-1}}={\sqrt {{x^{2} \over -a}-1}}={{ \sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}},$ $\operatorname {sh} t\operatorname {ch} t=x({\sqrt {x^{2}+a}} \over -a},$ $e^{t}=\operatorname {sh} t+\operatorname {ch} t={x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Es por eso

$t=\ln {x+{\sqrt {x^{2}+a}} \over {\sqrt {-a}}}.$

Por tanto, incluyendo el logaritmo del denominador de la última fracción en la constante C, obtenemos

$\int \!{\sqrt {x^{2}+a}}\,dx={x \over 2}{\sqrt {x^{2}+a}}+{a \over 2} \ln |x+{\sqrt {x^{2}+a}}|+C$

Si , entonces por sustitución reducimos la integral al caso ya considerado. Si , entonces hacemos un reemplazo y llevamos a cabo un razonamiento similar al caso considerado [1] . $x<0$ ${\ estilo de visualización x = -t, t> 0}$ $a>0$ $x={\sqrt {a}}\operatorname {sh} t$

Funciones trigonométricas

\int\!\sin{x}\, dx = -\cos{x} + C

\int\!\cos{x}\, dx = \sin{x} + C

\int\!\nombre del operador{tg}\, {x} \, dx = -\ln{\left| \cos {x} \right|} + C

Prueba

$\int \!\nombre del operador{tg}\, {x} \, dx = \int \frac {\sin x} {\cos x} dx= - \int \frac {d (\cos x) } {\cos x} = - \ln | \cos x | + C$

\int\!\nombre del operador{ctg}\, {x} \, dx = \ln{\left| \sin{x} \right|} + C

Prueba

$\int \!\nombre del operador{ctg}\, {x} \, dx = \int \frac {\cos x} {\sin x} dx= \int \frac {d (\sin x) } {\sin x } = \ln | \sin x | + C$

\int\!\sec{x} \, dx = \ln{\left| \sec{x} + \operatorname{tg}\,{x}\right|} + C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,dx=-\ln {\left|\operatorname {cosec} {x}+\operatorname {ctg} \,{x}\right|}+ C

\int\!\sec^2 x \, dx = \int\!{dx \over \cos^2 x} = \operatorname{tg}\,x + C

\int \!\operatorname {cosec} ^{2}x\,dx=\int \!{dx \over \sin ^{2}x}=-\operatorname {ctg} \,x+C

\int\!\sec{x} \, \operatorname{tg}\,{x} \, dx = \sec{x} + C

\int \!\operatorname {cosec} {x}\,\operatorname {ctg} \,{x}\,dx=-\operatorname {cosec} {x}+C

\int\!\sin^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x - \sin x \cos x) + C

\int\!\cos^2 x \, dx = \frac{1}{2}(x + \sin x \cos x) + C

\int\!\sin^nx \, dx = - \frac{\sin^{n-1} {x} \cos {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\ !\sin^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\cos^nx \, dx = \frac{\cos^{n-1} {x} \sin {x}}{n} + \frac{n-1}{n} \int\! \cos^{n-2}{x} \, dx, n\in\mathbb{N}, n\geqslant 2

\int\!\nombre del operador{arctg}\,{x} \, dx = x \, \nombre del operador{arctg}\,{x} - \frac{1}{2}\ln{\left( 1 + x^ 2 \right)} + C

Funciones hiperbólicas

\int \nombre del operador{sh}\,x \, dx = \nombre del operador{ch}\,x + C

\int \nombre del operador{ch}\,x \, dx = \nombre del operador{sh}\,x + C

\int \frac{dx}{\nombre del operador{ch}^2\,x} = \nombre del operador{th}\,x + C

\int \frac{dx}{\nombre del operador{sh}^2\,x} = - \nombre del operador{cth}\,x + C

\int \nombre del operador{th}\,x \, dx = \ln |\nombre del operador{ch}\,x| + C

\int \nombre del operador{csch}\,x \, dx = \ln\left| \nombre del operador{th}\,{x \over2}\right| + C

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \,\operatorname {sh} \,x+C

además

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\, (e^x) + C

además

\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg} \, \left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C

\int \nombre del operador{cth}\,x \, dx = \ln|\nombre del operador{sh}\,x| + C

Prueba de

Prueba de la fórmula : $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\operatorname {arctg} \operatorname {sh} \,x+C$

\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=\int {\operatorname {ch} x \over \operatorname {ch} ^{2 }x}dx=\int {d(\nombre del operador {sh} x) \over 1+\nombre del operador {sh} ^{2}x}=\nombre del operador {arctg} \nombre del operador {sh} x+C

Prueba de la fórmula : . $\int \nombre del operador{sech}\,x \, dx = 2\nombre del operador{arctg}(e^x) + C$ $\int \operatorname {sech} \,x\,dx=\int {dx \over \operatorname {ch} x}=2\int {dx \over e^{x}+e^{-x} }=2\int {d{e^{x}} \over 1+e^{2x}}=2\nombre del operador {arctg} (e^{x})+C$

Prueba de la fórmula : $\int \operatorname{sech}\,x \, dx = 2\, \operatorname{arctg}\,\left(\operatorname{th}\, \frac{x}{2}\right) + C$

{\begin{alineado}\int \operatorname {sech} \,x\,dx&=\int {1 \over \operatorname {ch} x}dx=\int {dx \over \operatorname {sh} ^ {2}{x \over 2}+\operatorname {ch} ^{2}{x \over 2}}=2\int {d({x \over 2}) \over \operatorname {ch} ^{2 }{x \over 2}(1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2})}\\&=2\int {d(\operatorname {th} {x \over 2}) \ sobre 1+\operatorname {th} ^{2}{x \over 2}}=2\,\operatorname {arctg} \,\left(\operatorname {th} \,{\frac {x}{2}} \right)+C\end{alineado}}

Características especiales

\int \operatorname {Ci} (x)\,dx=x\operatorname {Ci} (x)-\sin x

\int \operatorname {Si} (x)\,dx=x\operatorname {Si} (x)+\cos x

\int \operatorname {Ei} (x)\,dx=x\operatorname {Ei} (x)-e^{x}

\int \operatorname {li} (x)\,dx=x\operatorname {li} (x)-\operatorname {Ei} (2\ln x)

\int {\frac {\operatorname {li} (x)}{x}}\,dx=\ln x\,\operatorname {li} (x)-x

\int \operatorname {erf} (x)\,dx={\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}+x\operatorname {erf} (x )

Notas

↑ Vinogradova I.A., Olehnik S.N., Sadovnichiy V.A. Problemas y ejercicios de análisis matemático. En 2 libros. Libro. 1 / ed. VIRGINIA. Sadovnichy. - 2ª ed. - M .: Escuela Superior , 2000. - S. 187. - ISBN 5-06-003768-1 .

Bibliografía

Libros

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tablas de integrales, sumas, series y productos. - 4ª ed. - M.: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tablas de integrales San Petersburgo: Editorial e imprenta de JSC VNIIG im. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 p. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqMundo
D. Zwillinger. Tablas y fórmulas matemáticas estándar de CRC , 31.ª ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz y IA Stegun, eds. Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . - M .: " Nauka ", 1974.

Tablas de integrales

Cálculo de integrales

Listas de integrales por tipos de funciones
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