Hilera telescópica

Una serie telescópica en matemáticas es una serie infinita , cuya suma se puede obtener fácilmente, partiendo de que cuando se abren los corchetes, casi todos los términos se anulan entre sí. El nombre viene dado por analogía con el tubo del telescopio , que puede reducir su longitud plegándose varias veces.

El ejemplo más famoso de una serie de este tipo es la suma de números rectangulares recíprocos : , que se simplifica de la siguiente manera: $\sum _{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n(n+1)))$

{\begin{alineado}\sum_{n=1}^{\infty}{\frac {1}{n(n+1)))&{}=\sum_{n=1}^ {\infty}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)=\\&{}=\left(1-{\frac {1 }{2}}\derecha)+\izquierda({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\derecha)+\cdots =\\&{}=1+\izquierda (-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3 }}\right)+\cdots =1.\end{alineado}}

La esencia de las sumas telescópicas es que cada término de la serie se representa como una diferencia, y por lo tanto se simplifica la suma parcial de la serie:

\sum_{i=1}^{n}(a_{i}-a_{i+1})=(a_{1}-a_{2})+(a_{2}-a_{3 })+\cdots +(a_{n-1}-a_{n})+(a_{n}-a_{n+1})=a_{1}-a_{n+1}

De manera similar, se puede imaginar un producto “telescópico”, es decir, un producto infinito de la forma:

\prod_{i=1}^{n}{\frac {a_{i+1}}{a_{i}}}={\frac {a_{2}}{a_{1}}} \cdot {\frac {a_{3}}{a_{2}}}\cdot {\frac {a_{4}}{a_{3}}}\cdots {\frac {a_{n}}{a_{ n-1}}}\cdot {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}={\frac {a_{n+1}}{a_{1}}}

Al sumar series infinitas condicionalmente convergentes , se debe prestar atención al hecho de que un reordenamiento de términos puede llevar a un cambio en el resultado (ver el teorema de Riemann sobre series condicionalmente convergentes ). Por ejemplo, la "paradoja" con la serie Grandi :

0=\sum_{n=1}^{\infty}0=\sum_{n=1}^{\infty}(1-1)=1+\sum_{n=1}^ {\infty}(-1+1)=1

Esto se puede evitar considerando siempre la suma de los primeros n términos y luego encontrando el límite en . $n\to\infty$

Ejemplos

Muchas funciones trigonométricas permiten una representación como una diferencia, lo que permite organizar la aniquilación mutua de los términos correspondientes

{\begin{alineado}\sum _{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum _{n=1}^{N}{\frac { 1}{2}}\nombre del operador {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\ sin \left(n\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\ suma _{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2 }}\right)\right)=\\&{}={\frac {1}{2}}\operatorname {cosec} \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\ cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{alineado}}

suma parcial de una progresión geométrica :

(x-1)\sum_{k=0}^{n}x^{k}=\sum_{k=0}^{n}(x^{k+1}-x^{ k})=x^{n+1}-1.

a veces hay que aplicar la transformación "telescópica" dos veces:

{\begin{alineado}(x-1)^{2}\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}&=\sum_{k=1}^{n }(kx^{k+1}-2kx^{k}+kx^{k-1})=\\&=\sum_{k=1}^{n}[kx^{k+1}- (k-1)x^{k}]-\sum _{k=1}^{n}[(k+1)x^{k}-kx^{k-1}]=nx^{n+ 1 }-(n+1)x^{n}+1\end{alineado}}

Otro método para calcular esta suma es representar los términos como una derivada de una progresión geométrica:

\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}\sum_{k= 0}^{n}x^{k}={\frac {\rm {d}}({\rm {d}}x}}{\frac {x^{n+1}-1}{x- 1}}={\frac{(n+1)x^{n}(x-1)-(x^{n+1}-1)}{(x-1)^{2}}}={ \frac{nx^{n+1}-(n+1)x^{n}+1}{(x-1)^{2}}}

Véase también

Transformación de la serie de Euler
Transformada discreta de Abel
Aceleración de convergencia